Casi todos los $x^2+y^2=z^2$ tiene dos soluciones más $x_2^2+y_2^2=z^2$ y $x_3^2+y_3^2=z^2$ ¿se sabe esto?

Question

Hay $3$ distintas formas simbólicas de expresar cada $x^2+y^2=z^2$ triplete con una z común ejemplo $$793^2+5124^2=5185^2$$ $$935^2+5100^2=5185^2$$ $$144^2+5183^2=5185^2$$

Puede haber algunas situaciones raras en las que el $3$ Las formas simbólicas distintas no producen tres tripletes racionales distintos, pero son la excepción.

¿Se sabe esto?

EDITAR Mi afirmación era cierta para los racionales pero esa es una situación trivial. En términos de enteros, permítanme reafirmar.

si $a^2+b^2=c^2$ entonces casi siempre hay 3 trillizos basados en

$$ Z=c(3c-2a-2b) $$

Siempre hay 3 ecuaciones que generan pero en casos como que 3,4,5 sea el primer triplete uno de los valores es 0 y en situaciones muy raras puede haber valores no únicos.

Answer 1

Puede obtener una lista arbitrariamente grande, tomar $$ z = 5 \cdot 13 \cdot 17 \cdots p_r, $$ donde todos los primos $$ p_i \equiv 1 \pmod 4. $$

Oh, en cuanto a tu afirmación en el título, si $z \equiv 1 \pmod 4$ es primo, sólo hay una expresión $x^2 + y^2 = z^2$ con $1 \leq x \leq y$

A continuación, si $z = pq$ con primos $p \neq q,$ también $p \equiv q \equiv 1 \pmod 4,$ sólo hay dos expresiones $x^2 + y^2 = z^2$ con $1 \leq x \leq y$

Answer 2

Fácil de ver: $$13^2 + 84^2 = 85^2,$$ $$11^2 + 60^2 = 61^2.$$ Multiplicando la primera igualdad en $61^2$ y el segundo por $85^2$ : $$\boxed{793^2 + 5124^2 = 5185^2}$$ $$\boxed{935^2 + 5100^2 = 5185^2}$$ Identidad conocida de Brahmagupta: $$(a^2 + b^2) (c^2 + d^2) = (ac + bd)^2 + (ad - bc)^2$$ $$(a^2 + b^2) (c^2 + d^2) = (ac - bd)^2 + (ad + bc)^2.$$ Sustituyendo $a=13, b=84, c=11, d=60:$ $$(13^2 + 84^2) (11^2 + 60^2) = (13*11 + 84*60)^2 + (13*60 - 11*84)^2$$ $$(13^2 + 84^2) (11^2 + 60^2) = (13*11 - 84*60)^2 + (13*60 + 11*84)^2.$$ $$\boxed{5185^2 = 5183^2 + 144^2}$$ $$\boxed{5185^2 = 4897^2 + 1704^2}$$ Así, tenemos 4 de identidad y un proceso claro para su preparación.

Utilizando $a=3,b=4, c=5, d=12,$ tener: $$\boxed{39^2+52^2=65^2}$$ $$\boxed{25^2+60^2=65^2}$$ $$\boxed{63^2+16^2=65^2}$$ $$\boxed{33^2+56^2=65^2}$$

Answer 3

PISTA.- Además de la conocida identidad pitagórica $$(x^2-y^2)^2+(2xy)^2=(x^2+y^2)^2$$ también tiene la siguiente identidad menos conocida $$(mt+ns)^2+(ms-nt)^2=(mt-ns)^2+ms+nt)^2$$ donde $m,n,t,s$ son arbitrarios.

Creo que, asociando $x,y$ con $m,n,t,s$ quizás puedas encontrar ejemplos con más de tres "triángulos pitagóricos distintos con la misma hipotenusa". Buena suerte.