Mostrar que $n!\ge2^{\left(n-1\right)}\left(n-2\right)^2$ mediante el uso de la inducción

Question

Estaba tratando de probar la desigualdad siguiente pero estoy atrapado.

$$\tag{n > 5} n!\ge2^{\left(n-1\right)}\left(n-2\right)^2$$

He demostrado que $n=6$:

$$6 !=720 \ge 2^5 \cdot4^2 = 2^9 = 512$$

Pero estoy atrapado a mostrar $n+1$:

$$\left(n+1\right)!\ge2^n\cdot\left(n-1\right)^2$$ $$n!\cdot\left(n+1\right)\ge2^n\cdot\left(n-1\right)^2$$ $$?$$

Sería muy feliz si alguien me podría dar una sugerencia sobre cómo continuar desde aquí.

Saludos, Finn

Answer 1

El camino más razonable hacia adelante es usar lo que sabes: la hipótesis inductiva le $n! \geq 2^{n-1}(n-2)^2$, por n $$! (n+1) \geq 2^{n-1}(n+1)(n-2) ^ 2 = 2 ^ n (n-1) ^ 2 \cdot \dfrac{(n+1)(n-2) ^ 2} {2(n-1) ^ 2} $

Nuestro objetivo ahora es mostrar que la fracción $\dfrac{(n+1)(n-2)^2}{2(n-1)^2} \geq 1$. Sin embargo, el dato que tenemos que no hemos utilizado es $n > 5$. Vea si usted puede continuar desde aquí.

Answer 2

$$(n+1)!\geq (n+1)2^{n-1}(n-2)^2$ $ y queda por demostrar que $$(n+1)2^{n-1}(n-2)^2\geq2^{n}(n-1)^2$ $ o $$n^3-5n^2+4n+2\geq0,$$ which is obvious for $n\geq6.$