Sé que $a\leq \lvert a \rvert$ y $\lvert a \rvert =\sqrt{a^2}$, por lo que puedo escribir $$ a\leq \sqrt{a^2} $$ pero decir algo así como $$ a\leq \sqrt{a^2+b^2} $$ intuitivamente es cierto. Pero ¿podemos realmente demostrar esto o es solo intuición? Creo que: "hemos añadido $b^2$ en el lado derecho pero nada en el lado izquierdo. Por lo tanto el lado derecho debe ser más grande (de igualdad) ". ¿Esta es la manera correcta de pensar?
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Hagen von Eitzen
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SiongthyeGoh
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Masacroso
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Supongamos que usted tiene cierta desigualdad de la especie $a\le b$, entonces si se aplica una función creciente a ambos lados de la desigualdad se mantiene, es decir, supongamos que $f$ es una función creciente, a continuación, $f(a)\le f(b)$ si y sólo si $a\le b$.
Si $g$ sería una función decreciente, a continuación, $g(a)\ge g(b)$ si y sólo si $a\le b$, sólo se necesita comprobar la definición de incremento y disminución de las funciones para ver de que estas desigualdades es por definición.
En nuestro caso, la función de $f(x):=x^2$ es el aumento no negativos reales, por lo tanto si $a\ge 0$$\sqrt{a^2+b^2}\ge 0$, entonces tenemos que
$$a\le\sqrt{a^2+b^2}\iff f(a)=a^2\le f(\sqrt{a^2+b^2})=a^2+b^2\tag1$$
donde el símbolo $\iff$ debe leerse como "si y sólo si", y esto significa que si una cosa en uno de los lados de la $\iff$ es verdadera (o falsa) de que el otro también es verdadero (o falso).
Luego de $(1)$ nos encontramos con que $a^2\le a^2+b^2\iff 0\le b^2$ lo que es verdadero, lo $a\le\sqrt{a^2+b^2}$ también es cierto. Por otra parte, si $a<0$ $-a>0$ y se puede mostrar que el $-a\le\sqrt{a^2+b^2}$, y debido a $a<-a$, a continuación, su desigualdad también tiene al $a<0$.
