desigual

Question

$n$ es un entero positivo, luego

ps

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con inducción matemática, podemos probar esto.

Pero me encantaría encontrar un método maravilloso sin inducción matemática

¡Gracias!

Answer 1

Este es un hermoso de la desigualdad y, si usted sabe o no está permitido el uso de las $\Gamma$ función, la lhs se simplifica a $$\prod_{k=1}^n\frac{2k-1}{2k}=\frac{\Gamma \left(n+\frac{1}{2}\right)}{\sqrt{\pi } \Gamma (n+1)}$$ For large values of $n$, an asymptotic development is given by $$\frac{\Gamma \left(n+\frac{1}{2}\right)}{\sqrt{\pi } \Gamma (n+1)}=\frac{\sqrt{\frac{1}{n}}}{\sqrt{\pi }}-\frac{\left(\frac{1}{n}\right)^{3/2}}{8 \sqrt{\pi }}+\frac{\left(\frac{1}{n}\right)^{5/2}}{128 \sqrt{\pi }}+O\left(\left(\frac{1}{n}\right)^{7/2}\right)$$ and the difference between lhs and rhs is found to always be negative and to increase to $0^-$. For the difference, we have $$rhs-lhs=\left(\frac{1}{\sqrt{\pi }}-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \sqrt{\frac{1}{n}}-\frac{\left(\frac{1}{n}\right)^{3/2}}{8 \sqrt{\pi }}+\frac{\left(\frac{1}{n}\right)^{5/2}}{128 \sqrt{\pi }}+O\left(\left(\frac{1}{n}\right)^{7/2}\right)$$

Answer 2

Partiendo de la idea de André Nicolas, puedes volver a escribir$\prod_{k=1}^n\frac{2k-1}{2k}$ como

ps

Ahora,$$\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{7}{8}\cdots\frac{2n-1}{2n}=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdots (2n-1)2n}{(2\cdot 4 \cdot 6\cdot 8\cdots 2n)^2}=\frac{(2n)!}{(2^n\cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdots n)^2}=\frac{1}{4^n}\binom{2n}{n}.$ es el coeficiente binomial central . Su asintótico es conocido y fácilmente determinado como

ps

de modo que asintóticamente,

ps

Por otra parte, wikipedia también enumera una propiedad de coeficientes binomiales centrales que demuestra directamente su resultado, es decir,

ps