Encuentra todos los triángulos rectángulos cuya hipotenusa es $2^{2015.5}$

Question

Encuentra todos los triángulos rectángulos cuya hipotenusa tiene longitud $2^{2015.5}$ y cuyos otros dos lados tienen longitudes integrales.

Mi intento: Como $2^{2015.5}=2^{2015} \sqrt2$ las otras longitudes del triángulo pueden ser $(2^{2015},2^{2015})$ . ¿Hay otros casos posibles?

Answer 1

Un intento natural es trabajar en el ring $ \mathbf Z[i] $ para explotar su factorialidad. $ 2 $ factores como $ (1+i)(1-i) $ en este anillo, y nuestra igualdad se convierte en

$$ (x + yi)(x - yi) = (1 + i)^n (1 - i)^n = i^n (1 - i)^{2n}$$

donde $ n = 4031 $ . El lado derecho es una factorización de primos en el anillo factorial $ \mathbf Z[i] $ y las cantidades del lado izquierdo son conjugadas. Esto nos dice que las soluciones son de la forma

$$ x + yi = \varepsilon (1 - i)^{n} $$

donde $ \varepsilon = \pm 1, \pm i $ . Teniendo en cuenta los signos, sólo hay una solución tal que ambos $ x $ y $ y $ son positivos. Dado que $ x = y = 2^{2015} $ es claramente una solución, hemos terminado.

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Un enfoque alternativo: Procedemos por inducción.

Reclamación: Dejemos que $ n = 2k + 1 $ ser impar. Entonces, la ecuación $ x^2 + y^2 = 2^n $ tiene una solución única en los enteros positivos, dada por $ x = y = 2^k $ .

Prueba. La afirmación es ciertamente cierta para $ k = 0 $ . Supongamos que es cierto para $ k $ y que $ m = k+1 $ . Queremos demostrar que la ecuación $ x^2 + y^2 = 2^{2m+1} $ tiene una solución única en los enteros positivos. Como $ m > 0 $ el lado derecho es divisible por $ 4 $ Por lo tanto, también lo es el lado izquierdo. Mirando la congruencia $ x^2 + y^2 \equiv 0 \pmod{4} $ deducimos que tanto $ x $ y $ y $ debe ser uniforme. Pero entonces,

$$ \left(\frac{x}{2}\right)^2 + \left(\frac{y}{2}\right)^2 = 2^{2k+1} $$

y por la hipótesis inductiva sabemos que las soluciones enteras positivas de esta ecuación son únicas, dadas por $ x/2 = y/2 = 2^k $ . Multiplicando por $ 2 $ da el resultado deseado.

Ahora, aplique esta afirmación a su problema específico, con $ k = 2015 $ .