Solución de un polinomio cuártico sin utilizar el operador de la raíz cúbica

Question

He sido aprendizaje teoría de Galois y tenía curiosidad acerca de esta cuestión. ¿Dado un polinomio cuártico, cuándo podemos anotamos las raíces de él sin utilizar cualquier raíces cúbicas? ¿No alguna condición sobre los coeficientes del polinomio o el grupo de Galois del polinomio implica esta condición?

¡Gracias!

Answer 1

Deje$f \in K[X]$ ser su polinomio cuártico, con el campo de división$L$. Su condición obliga a$L$ a surgir de$K$ por sucesivas extensiones cuadráticas y, por lo tanto,$\mathrm{Gal}(L/K)$ es un$2$ - grupo. Por el contrario, siempre que$\mathrm{char}(K) \ne 2,$ como un grupo de Galois implica que$f$ puede ser resuelto por radicales cuadráticos.

Suponiendo que$f$ es irreductible, esto limita los posibles grupos de Galois a$D_8$,$V_4 = \mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/2$ o$\mathbb{Z}/4$. Escribir$$f(X) = X^4 + aX^3 + bX^2 + cX + d,$$ you are in one of those three cases if and only if the resolvent cubic $$R_f(X) = X^3 - bX^2 + (ac - 4d) X - (a^2 d - 4bd + c^2)$ $ es reducible. Entonces, en este sentido, puedes leerlo de los coeficientes.

Answer 2

aquí hay dos buenos$$ x^4 + x^3 + 2 x^2 - 4 x + 3 $ $$$ x^4 + x^3 -6 x^2 - x + 1 $ $ Para el primero, si$\omega$ es cualquier raíz decimotercera de la unidad (pero no una sola), entonces$\omega + \omega^3 + \omega^9 $ es una raíz . Para el segundo, si$\omega$ es cualquier raíz decimoséptima de la unidad (pero no una sola), entonces$\omega + \omega^4 + \omega^{16} + \omega^{64} =\omega + \omega^4 + \omega^{-1} + \omega^{-4} $ es una raíz.