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Derivación de la variable al azar Rayleigh-distribuidas

Sólo tengo una función de distribución uniforme entre [0,1]. Y a partir de esta distribución, que debo generar una secuencia de Rayleigh variable aleatoria distribuye el uso de algún software.

De todos modos, yo era capaz de terminar con el problema de la utilización de la fórmula de la Wikipedia artículo:

$$(1)\;\;\;\;X=\sigma\sqrt{-2\ln(U)}$$

Sin embargo, sólo hay una cosa que yo no podía entender. He intentado muchas veces para derivar la fórmula $(1)$ utilizando la Inversa de la transformación método de muestreo, pero yo no podía.

Puede alguien me muestra los pasos de cómo $(1)$ se encuentra?

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Dilip Sarwate Puntos 16161

Si $X$ de la variable aleatoria tiene CDF $F(x)$, entonces $F^{-1}(U)$ es una muestra de $X$ donde $U$ se distribuye uniformemente en el intervalo de unidad. Este es un resultado estándar en teoría de la probabilidad, y supongo que no necesita una prueba de ello.

La CDF de una variable aleatoria Rayleigh del $X$ es $$F(x) = 1 - \exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right), ~~x \geq 0,$$ and so $F^{-1}(y) = \sigma\sqrt{-2\ln(1-y)} $. But, since $1-U$ es también distribuido uniformemente en el intervalo unidad, ahorramos una resta usando $X = \sigma\sqrt{-2\ln( U})$ en su lugar.

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