Un cuerpo sometida a movimiento periódico en una órbita de número cuántico $n$ tendrá un período de $T$, determinado por $$T=\oint \frac{ds}{v}=\oint \frac{ds}{\sqrt{\frac{2}{m}(E-V)}}$$ Donde $ds$ es un desplazamiento infinitesimal, $v$ es el cuerpo de la velocidad, $m$ es su masa, $E$ de su energía total y el $V$ de su energía potencial. Así mismo, se dispondrá de una acción abreviado para todo el periodo, equivalente a $$J=\oint\vec p\cdot d\vec s =\sum_i\oint p_idq_i=\oint\sqrt{2m(E-V)}ds$$ Puede verse fácilmente que $$T=\dfrac{dJ}{dE}$$ Ahora, según Bohr, en el límite de grandes números cuánticos (correspondiente a grandes vibraciones) el comportamiento del cuerpo debe acercarse a su comportamiento clásico. Así que la frecuencia de la luz emitida por un cuerpo como gotas de estado $n$ a un estado inferior debe ser un múltiplo entero de la frecuencia en la que el cuerpo se mueve en su movimiento periódico. Desde la frecuencia más baja de la luz es emitida cuando el cuerpo cae para el estado, directamente debajo de ella, que la frecuencia de m,ust corresponden a la frecuencia de movimiento en el límite clásico. Así, de acuerdo a la Hipótesis de Planck: $$f_n\approx\frac{E_n-E_{n-1}}{h}$$ Donde $h$ es la constante de Planck. Reemplazando: $$\dfrac{dE}{dJ}\approx\frac{1}{h}\dfrac{dE}{dJ}(J_n-J_{n-1})$$ La cancelación $\dfrac{dE}{dJ}$ obtenemos $$J_n-J_n-1=h$$ De esto podemos obtener que la acción está cuantificada $$J=\oint\vec p\cdot d\vec s =\sum_i\oint p_idq_i=nh$$ donde $n$ es un número entero. Pero el Viejo Cuántico de estado de estados que $$\oint p_i dq_i=nh$$ Lo que significa que la acción para cada generalizada coordinar y monetum está cuantificada, con la $n$ por cada coordenada es un número cuántico. ¿Cómo se hace a partir de La acción total en un período de un cuerpo es cuantificada a La acción para cada persona coordinar está cuantizada?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Bueno, creo que por fin lo conseguí! Gracias bolbteppa!
Un cuerpo que oscila puede oscilar con diferentes períodos en los diferentes grados de libertad, o de coordenadas. Un ejemplo de ello es una precesión de la órbita. Ahora el período de movimiento en coordenadas $i$ es $$T_i=\oint\frac{dq_i}{\dot q_i}$$ Que, de acuerdo a Hamiltoniana de la Mecánica es $$\oint\frac{dq_i}{\left(\dfrac{\partial H}{\partial p_i}\right)}$$ La acción durante un período completo de un solo coordinar $S_i$ es $$J_i=\oint p_i dq_i$$ La derivada de $S_i$ con respecto al $H$ es $$\dfrac{\partial J_i}{\partial H}=\oint \dfrac{\partial p_i}{\partial H}dq_i=\oint\frac{dq_i}{\left(\dfrac{\partial H}{\partial p_i}\right)}$$
Por lo $T_i$ es igual a $\dfrac{\partial J_i}{\partial H}$, o la frecuencia de $f_i$ es igual a $\dfrac{\partial H}{\partial J_i}$
A partir de esto puedo ir a través de las matemáticas de mi pregunta: $$f_i(n)=\frac{H(J_n)-H(J_{n-1})}{h}$$ $$\dfrac{\partial H}{\partial J_i}=\frac{1}{h}\dfrac{\partial H}{\partial J_i}(J_i(n)-J_i(n-1))$$ $$J_i(n)-J_i(n-1)=h$$ $$J_i=\oint p_i dq_i=nh$$ Gracias por su ayuda!
