Esta pregunta fue en una TAREA en mi Teoría Estadística de la clase y me encuentro con el profesor de la respuesta y explicación satisfactoria. Por favor, dame un poco de orientación en cuanto a por qué
$\bar{x}$ es el MLE si este es el caso, o
Déjeme saber si estoy en lo correcto al pensar que tanto $\bar{x}$ $1-\bar{x}$ maximizar la probabilidad de la función y, por tanto, el MLE no es el único, o
Si el problema es aún bien definida, ya que se plantea. Me siento como este podría ser el caso también.
Entiendo que la definición de la MLE en el más regular de las circunstancias, como se detalla en la sección de Principios de http://en.wikipedia.org/wiki/Maximum_likelihoodpero la extraña forma del PDF, trae a colación cuestiones con supremums que no estoy acostumbrado a tratar con.
Pregunta: Vamos a $X_1,...,X_n$ ser un yo.yo.d. secuencia de 0-1 con valores de RV con las probabilidades
$$ P(X_1=1)=\begin{cases} \theta, & \theta\in\mathbb{Q}\\1-\theta, & \theta\notin\mathbb{Q} \end{casos} $$
donde $\theta\in(0,1)$. ¿El MLE de $\theta$ existen?
Esquema del Profesor de la solución: Esta es la idea principal de mis profesores de la solución. La función de probabilidad es
$$ L(\theta|x_1,...,x_n)=\{\theta^{\sum{x_j}}(1-\theta)^{n-\sum{x_j}}\chi_{\theta\in\mathbb{Q}} +\theta^{n-\sum{x_j}}(1-\theta)^{\sum{x_j}}\chi_{\theta\noen\mathbb{Q}}\} $$
donde $\chi_A$ es el indicador de la función del conjunto $A$. Tenemos
$$ \begin{eqnarray} \underset{\theta\in[0,1]}{\sup} L(\theta|x_1,...,x_n)&=&\underset{\theta\in[0,1]}{\sup} {\{\theta^{\sum{x_j}}(1-\theta)^{n-\sum{x_j}}\chi_{\theta\in\mathbb{Q}} +\theta^{n-\sum{x_j}}(1-\theta)^{\sum{x_j}}\chi_{\theta\notin\mathbb{Q}}\}} \\&=& \max\{\underset{\theta\in\mathbb{Q}}{\sup} \{\theta^{\sum{x_j}}(1-\theta)^{n-\sum{x_j}}\},\underset{\theta\notin\mathbb{Q}}{\sup} \{\theta^{n-\sum{x_j}}(1-\theta)^{\sum{x_j}}\}\} \\&=& \max\{\bar{x}^{\sum{x_j}}(1-\bar{x})^{n-\sum{x_j}},(1-\bar{x})^{n-\sum{x_j}}\bar{x}^{\sum{x_j}}\} \\&=& \bar{x}^{\sum{x_j}}(1-\bar{x})^{n-\sum{x_j}} \end{eqnarray} $$
Profesor: En este punto, el profesor sostiene que el supremum en el segundo término,$\underset{\theta\notin\mathbb{Q}}{\sup} \{\theta^{n-\sum{x_j}}(1-\theta)^{\sum{x_j}}\}\}$ no alcanzado desde $\bar{x}$ es un número racional. Puesto que los datos se compone de los números racionales, el supremum de la primer término , $\underset{\theta\in\mathbb{Q}}{\sup} \{\theta^{\sum{x_j}}(1-\theta)^{n-\sum{x_j}}\}$ es alcanzado en $\hat{\theta}_1=\bar{x}$ y que este es el MLE de $\theta$.
Yo: me parece Que debe considerar el supremum por el cierre de los conjuntos de $\mathbb{Q}$$\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}$, que sería $[0,1]$, en cuyo caso $\sup L(\theta|x_1,...,x_n)$ se consigue en tanto $\hat{\theta}_1=\bar{x}$$\hat{\theta}_2=1-\bar{x}$. De lo contrario, esencialmente estamos suponiendo que $\theta$ es racional e ignorando irracional $\theta$. Es este el caso? Si es así, esto es un indeseable de la propiedad de la Probabilidad Principio en raros casos como este? Es allí cualquier plausible situación en la que temas como este se producen? Debo dejar de preocuparse por los problemas extraños como este?
Como un aparte, teniendo en cuenta $[0,1]\backslash\mathbb{Q}$ tiene medida de Lebesgue 1 y $[0,1]\cap\mathbb{Q}$ tiene medida de Lebesgue 0, parece como $\bar{x}$ es un mal estimador, ya que es una estimación de $\theta$ si es en un conjunto muy pequeño. También, si $\theta\in\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}$, $\hat{\theta}_2=1-\bar{x}$ es consistente, entonces no puedo pensar en una buena razón por la $\bar{x}$ es mejor.
Editar Como @cardenal señaló, el $x_i$ son obviamente racional, por lo que este no es un problema. Esta dirigido mi primer (tonto) la incomprensión, la que participan suponiendo que el estimador $\bar{x}$ podría ser irracional o racional.
