Demuestre que$f$ es una combinación lineal de$f_1,f_2,\dots,f_n$.

Question

Permita que$V$ sea un espacio vectorial y permita que$f, f_1,f_2,\dots,f_n$ sea un mapa lineal de$V$ a$\mathbb{R}$. Supongamos que$f(x)=0$ cada vez que$f_1(x)=f_2(x)=\cdots=f_n(x)=0$. Demuestre que$f$ es una combinación lineal de$f_1,f_2,\ldots,f_n$.

La solución se puede encontrar aquí (primer problema). .

pero no estoy de acuerdo con que se garantice que$a_k$ exista. ¿Qué sucede si el conjunto que contiene todos los vectores$u\in V$ es tal que$f_1(u)=f_2(u)=\cdots =f_{k-1}(u)$ está vacío?

Answer 1

Puedes hacer lo siguiente. Deje$V$ ser un$K$ - espacio vectorial ($K=\Bbb R$) de la dimensión decir$m$. Permita que$V^*$ sea su espacio dual. Ahora tome$\varphi_1,\ldots,\varphi_n$ para ser formas lineales en$V^*$, y permita que$\varphi$ sea otro formulario en$V^*$. Estás asumiendo que$$\tag 1 \bigcap_{i=1}^n \ker\varphi_i\subseteq \ker \varphi$ $

Podemos suponer que las$n$ forms$\varphi_i$ son linealmente independientes. Extiéndalos a una base$$\{\varphi_1,\ldots,\varphi_{n},\varphi_{n+1},\ldots,\varphi_m\}$ $

y permita que$\{v_1,\ldots,v_n,v_{n+1},\ldots,v_m\}$ sea su base predual en$V$. Ahora escribe$$\varphi=\alpha_1\varphi_1+\cdots+\alpha_n\varphi_n+\alpha_{n+1}\varphi_{n+1}+\cdots+\alpha_m\varphi_m$ $

Por definición, tenemos ese$\varphi_j(v_i)=\delta_{ij}$. Use$(1)$ para mostrar que$\alpha_{n+1}=\cdots=\alpha_m=0$.