¿Cuál es la definición de "identidad formal"?

Question

En el caso de Ahlfors Análisis complejo señala que los armónicos $u(x,y)$ puede expresarse como $$u(x,y) = \frac{1}{2}[f(x + i y) + \overline{f}(x - i y)]$$ cuando $x$ y $y$ son reales. Luego escribe

"Es razonable esperar que esta sea una identidad formal , y entonces se mantiene incluso cuando x e y son complejos".

¿Qué quiere decir en este contexto con "identidad formal"?

Editar: Toda esta página (p.27 de mi edición) viene con lo que es una advertencia, por lo que puedo decir:

Presentamos este procedimiento con la advertencia explícita de que es puramente formal y no posee no posee ningún poder de prueba.

En la misma página utiliza las frases "procedimiento formal", "razonamiento formal", "argumentos formales" e "identidad formal".

¿Está diciendo más o menos que se está embarcando en algo que podría considerarse sospechoso, al menos en este punto del libro?

¡Muchas gracias!

Answer 1

La palabra "formal", tal y como se utiliza aquí, no tiene un significado totalmente riguroso. El ejemplo arquetípico de un argumento formal es manipular una serie de potencias sin preocuparse por la convergencia, lo que da lugar a la noción de serie de potencia formal . En general, un argumento formal es aquel que se basa en la "forma" de los objetos matemáticos implicados sin pensar en su "sustancia" (por ejemplo, una serie de potencias es una forma, una función de la que es una serie de Taylor es una sustancia).

En este caso, estoy de acuerdo con RGB en que una posible interpretación es que la identidad podría mantenerse en el nivel de las series de potencias, en cuyo caso debería mantenerse incluso para los complejos $x, y$ .