$Cat(A,B)$ es el conjunto de funtores de la categoría $A$ a la categoría $B$ . En general, $\mathcal{C}(A,B)$ denota el conjunto hom entre los objetos $A,B$ en la categoría $\mathcal{C}$ . Dado que existe una "categoría de categorías", algo así como $Cat(A \times B, C) \cong Cat(A, C^B)$ es decir que hay una biyección entre funtores, enviando $F:A\times B \rightarrow C$ al functor $G: A \times C^B$ . (Esto es exactamente como decir $$Maps(A \times B, C) \cong Maps(A, C^B)$$ en $Sets$ (excepto que las funciones son ahora funtores) ¿Qué es $G$ ? Bueno, $C^B$ es una categoría de funtores. Los objetos son funtores, por lo que dado un objeto $a$ de $A$ , $G(a)$ debe ser un functor de $B$ a $C$ . ¿Qué functor tomamos? La única opción es $F(a,-)$ . Pero $G$ también necesita hacer algo con los morfismos. Así que un morfismo $k:a \rightarrow a'$ necesita ir a una transformación natural $F(a,-) \rightarrow F(a',-)$ . Pero esto viene incorporado en la definición de $F$ ya que es natural en ambas ranuras. También podemos retroceder. Dada tal $G$ podemos construir un $F$ y hacerlo de manera que las dos construcciones sean mutuamente inversas.
Ahora, puede ver $Cat(A,B)$ como una categoría (una categoría de funtores), con los objetos los morfismos y los morfismos como transformaciones naturales entre ellos. La construcción anterior no "viene con" una forma de enviar morfismos (transformaciones naturales) a morfismos. Pero dada una transformación natural entre bifunctores $S \Rightarrow T:A \times B \rightarrow C$ creo que se puede construir una transformación natural entre los contiguos, que denotaré $\hat{S}$ y $\hat{T}$ . Si $\eta$ es la transformación natural de $S$ a $T$ Entonces, defina $\hat{\eta}$ en $a$ para ser... ¿qué? Bueno, tiene que ir de $\hat{S}(a)$ a $\hat{T}(a)$ . Son objetos de la categoría de funtores $Cat(B,C)$ Así que $\hat{S}(a)$ es un functor de $B$ a $C$ , tal y como está $\hat{T}(a)$ . Así que $\eta_a$ ¡debe ser una transformación natural! ¿Cuál debería ser la transformación natural? Bueno, yo usaría $\eta(a,-)$ .
No tengo ninguna razón para pensar que esto $\hat{\cdot}$ no induce una biyección en las transformaciones naturales, por lo que estas dos categorías de funtores son efectivamente isomorfas, lo que se puede escribir como $$C^{A\times B} = (C^B)^A.$$ Pero ya te puedes imaginar que escribir los detalles es un poco tedioso. El truco consiste en tener siempre presente con qué tipo de objetos estás trabajando, cuáles deben ser los morfismos, etc.
Nótese que la naturalidad de la biyección $Cat(A\times B,C) \cong Cat(A,C^B)$ no entró con este argumento, ya que nunca tuvimos que pensar en otras categorías que no fueran $A,B,$ y $C$ . ¿Qué significa eso? Vuelve a la cosa que tomó un functor $F:A \times B \rightarrow C$ y escupir un functor $G:A \rightarrow C^B$ . Supongamos que tenemos un functor $H:A' \rightarrow A$ . Puedes usar esto para construir un functor $H\times 1:A' \times B \rightarrow A \times B$ . Supongamos que quieres saber qué pasa cuando aplicas todo esto a $F(H\times 1):A' \times B \rightarrow C$ . Hay que volver a hacer todos esos cálculos.
Pero ahí es donde la naturalidad salva el día. La naturalidad dice que si has calculado una cosa, puedes calcular composiciones previas y posteriores simplemente... ¡componiendo! Así que el resultado de aplicar todo esto a $F(H \times 1)$ es sólo $GH: A' \rightarrow A \rightarrow C^B$ . Al leer el libro, te darás cuenta de que la naturalidad es una condición muy poderosa, ¡ya que impone tantas relaciones a la transformación!
