Aquí es una prueba de que Steve reescalado le da todas las soluciones, junto con la operación trivial de permuting los componentes de $A$, $B$, y $C$ si ver como vectores positivos coeifficients. (Si usted verlos de esta manera, luego de Steve, la notación $||A||_p$ es habitual que se $p$-norm.)
Probé por primera vez lo que Alekk intentado: Usted puede tomar el límite de $p \to \infty$ y, finalmente, obtener cierto poder serie de expansiones en $1/p$. O usted puede tomar el límite de $p \to 0$ y obtener cierta potencia de la serie de expansiones en $p$. El problema con ambos enfoques es que la información en los términos de estas ampliaciones es complicado. Para ayudar a entender el segundo límite, he observado que los dos lados de Steve ecuación analítica en $p$, pero sólo ayudó mucho.
Entonces me di cuenta de que cuando tienes un complejo de la analítica de la función de una variable, usted puede obtener una gran cantidad de información a partir de la observación singularidades. Así que echemos un vistazo a eso. Vamos
$\alpha_k = \ln a_k$, por lo que
$$||A||_p = \exp\left( \frac{\ln \bigl[\exp(\alpha_1 p) + \exp(\alpha_2 p) + \cdots + \exp(\alpha_d p) \bigr]}{p} \right).$$
La expresión dentro del logaritmo de la que se ha llamado una exponencial, polinómica en la literatura, que voy a llamar a $a(p)$. Como se ha indicado, $||A||_p$ tiene una singularidad cuando logarítmica $a(p) = 0$. $||A||_p$ tiene otro tipo de singularidad al $p = 0$, pero no importa para nada. También se $a(p)$ es una función completa, lo que significa, en particular, que es univalentes y se ha aislado a ceros. Además, ninguno de los ceros de $a(p)$ están en el eje real. Deje $b(p)$ $c(p)$ la correspondiente exponencial de polinomios para$B$$C$.
Supongamos que usted siga un ciclo que se inicia en el eje real positivo, rodea un $m$veces cero de $a(p)$$p_0$, y, a continuación, vuelve a su punto de partida. A continuación, el valor de $||A||_p$, lo cual es distinto de cero para $p > 0$, las ganancias de un factor de $\exp(2m\pi i/p_0)$. Por lo tanto Steve ecuación no es consistente a menos que todos los tres de $a(p)$, $b(p)$ y, $c(p)$ tienen el mismo ceros con la misma multiplicidad. (Desde $\exp(2m\pi i/p_0)$ no tiene norma 1, progresiones geométricas con esta relación, pero con diferentes valores de $m$ son linealmente independientes).
En este punto, el problema es resuelto por una muy interesante ponencia de Ritt, En los ceros de la exponencial de polinomios. Ritt comentarios de ciertos resultados de Tamarkin, Polya, y Schwengler, lo que implica, en particular, que si una exponencial, polinómica $f(z)$ no tiene ningún cero, entonces es un monomio $f_\alpha \exp(\alpha z)$. Ritt del propio teorema es que si $f(z)$ $g(z)$ son exponenciales polinomios, y si las raíces de $f(z)$ son todas las raíces de $g(z)$ (con multiplicidad), entonces su relación es otra exponencial, polinómica. Por lo tanto, en nuestra situación,$a(p)$, $b(p)$, y $c(p)$ son todos proporcional a una constante y un factor exponencial. Así, $A$, $B$, y $C$ debe ser el mismo vectores hasta permutación, la repetición, y la modificación de la escala de las coordenadas. La repetición es una operación que aún no ha sido analizado. Si $A^{\oplus n}$ indica el $n$veces la repetición de $A$,$||A^{\oplus n}||_p = n^{1/p}||A||_p$. De nuevo, desde progresiones geométricas con distintas relaciones son linealmente independientes, Steve ecuación no es coherente si $A$, $B$, y $C$ son repeticiones de la misma vector en diferentes cantidades.
El mismo argumento funciona para la generalización de la ecuación
$$x_1||A_1||_p + x_2||A_2||_p + \cdots + x_n||A_n||_p = 0.$$
El resultado es que cualquier dependencia lineal trivializa, después de reescalado de los vectores y permuting sus coordenadas.
Actualización (por J. O'Rourke): Greg papel en esta solución se acaba de publicar:
"Las normas como una función de la $p$ son linealmente
independiente de dimensiones finitas," Amer. De matemáticas. Mensual, Vol. 119, Nº 7, Agosto-septiembre 2012, pp 601-3
(JSTOR enlace).
