si $a^{(p-1)/2}$ ≡ -1(mod p) entonces el orden de a mod p es p-1

Question

Demostrar o refutar

Supongamos que p es un primo impar , si $a^{(p-1)/2}$ -1(mod p) entonces el orden de a mod p es p-1

Creo que es cierto, $a^{(p-1)/2}$ -1(mod p) elevando ambos lados al cuadrado obtenemos $a^{(p-1)}$ 1(mod p) entonces el orden de a mod p es p-1

¿es esa la respuesta correcta?

Answer 1

La afirmación es falsa: $a$ tiene orden $p-1$ si $\frac{p-1}{2}$ es el el más pequeño exponente $k$ tal que $a^k=-1$ .

Por lo tanto, para un contraejemplo, tenemos que encontrar $a$ con orden par $n< p-1$ . Entonces $a^{n/2}=-1$ . Además, para obtener $a^{(p-1)/2}=-1$ necesitamos $(p-1)/n$ ser impar.

Ahora, $a=p-1$ siempre tiene orden $2$ . Por lo tanto, el contraejemplo más fácil es $a=p-1$ cuando $p \equiv 3 \bmod 4$ porque entonces $(p-1)/2$ es impar.

Hay algunos contraejemplos más interesantes que han $n>2$ :

• $p=13, a=5$ . Entonces $ord(a)=4$ .

• $p=19, a=8$ . Entonces $ord(a)=6$ .

Contraejemplos con $n>2$ existe para estos primos: $$ 13,19,29,31,37,41,43,53,61,67,71,73,79,89,97,101,103,109,113,127,131,137,139,\dots $$ pero esta secuencia no está en la OEIS.

Estos son los primos $p$ tal que $p-1=2u$ con $u$ impar compuesto o $p-1=4v$ con $v >1 $ impar. Entonces podemos tomar en el primer caso $n=2w$ donde $w$ es un factor no trivial de $u$ y $n=4$ en el segundo caso.

Answer 2

Sea $ p =4k +3$ . Entonces $ (p-1)/2 = 2k+1$ . Ahora dejemos que $ a= p-1$ . Entonces vemos que $ a^2 $ es $1$ modulo $p$ . Así que el orden de $a$ es 2.También $ a^{p-1/2} = (p-1)^{2k+1} \equiv -1 $ modulo $p$ (por la expansión ). Por lo tanto, este es un contraejemplo general y no es cierto.

Answer 3

Sea $p=7$ y $a=6$ . Entonces $a^{\frac{p-1}{2}}=6^\frac{7-1}{2}=6^3=216\equiv -1\pmod 7$ . Pero $ord_7(6)=2$ . Espero que esto ayude y creo que esto era un contraejemplo que no se muestra en la respuesta anterior. Pero corregidme si me equivoco.