Distribución monomial de$X^a \cdot Y^b$

Question

¿Cuál es la distribución del siguiente monomio? $$X^a \cdot Y^b$ $ donde$X$ y$Y$ son variables aleatorias normales y$a$ y$b$ son números naturales.

Por ejemplo, cuando$X \sim N(0,1)$,$a=2$ y$b=0$ es una distribución Chi-cuadrado, que tiene una varianza de 2.

¿Qué pasa si tenemos$n$ variables independientes$X_1, X_2, \dots , X_n$, con$X_i \sim N(0,\sigma^2)$ y algunos números naturales$p_1, p_2, \dots,p_n$. ¿Qué podemos decir sobre la varianza de la siguiente rv?

ps

Answer 1

La primera pregunta acerca de una distribución no tiene la conveniente respuesta general, porque AFAIK nadie ha asignado nombres a tales distribuciones ni ampliamente estudiado y que se caracteriza, excepto cuando ambos $a$ $b$ $2$ o menos.

Sobre la segunda pregunta acerca de las variaciones, como forma abreviada de escribir $\mathbf{p}=(p_1,p_2,\ldots,p_n)$$\mathbf{x^p} = X_1^{p_1} X_2^{p_2} \cdots X_n^{p_n}$.

Recuerde que para la distribución Normal estándar el $k^\text{th}$ momento es $0$ al $k$ es impar y lo contrario es igual a $(k-1)!! = (k-1)(k-3)\cdots(3)(1)$. A partir de este y la independencia de la asunción, la expresión de la expectativa de $\mathbf{x^p}$ es inmediata: es igual a $0$ cuando una o más de las $p_i$ es impar y lo contrario es el producto de la $(p_i-1)!!$, la que será igualmente abreviar $(\mathbf{p-1})!!$.

Por definición,

$$\text{Var}(\mathbf{x^p}) = \mathbb{E}[(\mathbf{x^p})^2] - \mathbb{E}[\mathbf{x^p}]^2 = (2\mathbf{p}\mathbf{-1})!! - ((\mathbf{p-1})!!)^2.$$

Cuando las variables se ajustan a tener varianza $\sigma^2$, $\mathbf{x^p}$ será multiplicado por el $|\sigma|^{p_1+p_2+\cdots+p_n}$, donde su varianza será multiplicado por el $\sigma^{2(p_1+p_2+\cdots+p_n)}$.

Ejemplo

Deje $\mathbf{p} = (2,4)$:

• $(2\mathbf{p}\mathbf{-1})!! = 3!! 7!! = [3(1)][7(5)(3)(1)] = 315$;

• $((\mathbf{p-1})!!)^2 = 1!!3!! = ([1][3(1)])^2 = 9$;

• $\text{Var}(X_1^2 X_2^4) = (315 - 9)\sigma^{2(2+4)} = 306\sigma^{12}.$