Demostrar que una secuencia tiene $a_n = a_{n+2}$ para $n$ suficientemente grande.

Question

El problema se plantea:

una secuencia de números reales $a_0, a_1, \dots $ se define como sigue. $a_0$ es un número real arbitrario y para $n \ge 0, a_{n +1} = \lfloor a_n \rfloor \{ a_n \}$ (donde $\{x\} = x - \lfloor x \rfloor$ ).

Demostrar que para $a_n = a_{n+2}$ para $n$ lo suficientemente grande.

mi intento :

Observo que se trata de una secuencia decreciente porque $$\frac{a_{n+2}}{a_{n+1}} = \frac{\lfloor a_{n+1} \rfloor \{ a_{n+1} \}}{ a_{n+1}} < 1$$

desde $\{ a_{n+1} \} \le 1$ (podemos excluir el caso en que sea igual a uno ya que entonces se convierte en la secuencia nula que satisface la tesis).

Además esta secuencia está acotada entre $0$ y $a_0$ así que por el teorema de convergencia monótona debe tener un límite.

Tomando el límite obtengo $$\ell = \lim \lfloor a_n \rfloor (\ell - \lim \lfloor a_n \rfloor) \iff \ell = - \lim \lfloor a_n \rfloor^2 / (1 - \lim \lfloor a_n \rfloor) $$

Y así, si demuestro que existe $n$ s.t. $ \lfloor a_n \rfloor < 1$ He terminado. Porque entonces el límite sólo podría ser $0$ y esto implica que existen infinitas $a_n = a_{n+2} = 0$ .

Pero no puedo probarlo. ¿Está bien mi razonamiento hasta ahora? ¿Cómo puedo proceder?

Editar: Añade el texto original del problema.

Answer 1

Suponiendo que $a_0 \gt 0$ , tenga en cuenta que para $a_n \gt 1$ , $a_{n+1} \lt \lfloor a_n \rfloor$ Así que $\lfloor a_n+1\rfloor \le \lfloor a_n\rfloor -1$ por lo que la secuencia está acotada por encima de $a_n, a_n-1, a_n-2\dots 1$ y debe alcanzar $0$ y ser constante allí.

Supongamos ahora que $a_0 \lt 0$ . Tenemos $a_1=\lfloor a_0 \rfloor \{a_0\} \gt \lfloor a_0 \rfloor $ por lo que la secuencia no puede ser inferior a $\lfloor a_0 \rfloor $ . Si $\{a_n\} \lt 1-\frac 1{\lfloor a_n \rfloor }, \lfloor a_{n+1} \rfloor \gt \lfloor a_n \rfloor$ y avanzamos hacia el cero. Si $\{a_n\} = 1-\frac 1{\lfloor a_n \rfloor }, a_{n+1}= a_n$ y estamos en un punto fijo. En ese caso tendremos $a_{n+2}=a_n$ . Si $\{a_n\} \gt 1-\frac 1{\lfloor a_n \rfloor },\{a_{n+1}\} \lt 1-\frac 1{\lfloor a_{n+1} \rfloor }$ y procederemos al siguiente paso cero. Una vez que lleguemos a $a_n \gt -1$ tenemos $a_{n+1}=(-1)(a_n+1)=-a_n-1 \gt -1, a_{n+2}=-a_{n+1}-1=-(-a_n-1)-1=a_n$ y hemos terminado.

Answer 2

Todo positivo $a_0$ itera a cero en tiempo finito, ver la gráfica del mapa iterado. Para los negativos $a_0$ hay puntos fijos en cada $x=-m^2/(m+1)$ , $m\geq 1$ (órbitas de período 1). O bien $a_0<-1$ finalmente aterriza en uno de esos puntos fijos (que son inestables para $m\geq 2$ ), o bien se asigna al intervalo $[-1,0[$ después de un número finito de iteraciones. El mapa está aquí $f_{-1}(x)=-(x+1)$ . $-1$ mapas a $0$ que es un punto fijo, pero cada $x\in (-1,0)$ mapas a $-(1+x)$ y luego a $x$ (órbita de período 2). El ejercicio está muy bien hecho.