si entonces

Question

Tengo la siguiente pregunta:

Si $1=\int _{ 1 }^{ \infty }{ \frac { ax+b }{ x(2x+b) } dx } $ y $a+b=?$

un) $0$

b) $e$

c) $2e-2$

d) $1$

Traté de encontrar es el derivado, pero que no parece ayudar a.

También intentó llegar a $\int _{ 1 }^{ \infty }{(\alpha-1) \frac { 1 }{ x^\alpha } dx } $ $\alpha>1$ ya es igual a $1$ pero sin encontrar una respuesta.

¿Qué me falta aquí?

Gracias.

Answer 1

Sugerencias: (1) si $a\ne 0$ ¿qué tipo de problemas nos metemos en? (2) fracciones parciales.

Answer 2

Observe que, para que la integral a converger, $a$ tiene que equivalen a $0$ que implica

$$ 1=\int _{ 1 }^{ \infty }{ \frac { b }{ x(2x+b) } dx }=\ln(b+2)-\ln(2)=\ln(\frac{b+2}{2}) $$

$$ \implies \frac{b+2}{2}=e \implies b=2 e -2 \implies a+b= 2 e-2 .$$

Nota: Observar que el integrando

$$ \frac { ax+b }{ x(2x+b) }\sim \frac{ax}{2x^2}=\frac{a}{2x}, $$

que no es integrable en $[1,\infty)$.