17! mod 13, ¿Cómo hago esto sin una calculadora

Question

Así que sé$$17! = 17 \times16\times15...\times1$ $ Entonces estaba pensando que tal vez vaya$$17mod(13)\equiv4 \space \space and \space 16mod(13)\equiv3 ...$ $ a agregar todo eso pero eso es demasiado trabajo, así que fui

17-13 = 4

ps

4 +3 +2 +1 = 10

¿Es esto correcto? Editar: ¿Es al menos una respuesta correcta?

EDIT 2: ¡Acabo de comprobar google calc 17! mod 13 = 0, entonces, ¿qué hice mal?

Answer 1

$17!=17\times 16\times \dots \times 13\times \dots 1$ . Así que es divisible por $17!$ lo que implica que el $13$ $17!\equiv 0\mod 13$.

Nota: Si $m\ge n$ y $m!\equiv 0\mod n$.

Answer 2

Trato de responder el ¿qué hice mal parte.

Así que yo sé que $$17! = 17 \times16\times15...\times1$$ Así que estaba pensando que tal vez ir $$17mod(13)\equiv4 \space \space and \space 16mod(13)\equiv3 ...$$

Ok, este es un buen comienzo.

agregar todos los que juntos

Ese es tu error. Tres líneas anteriores se dijo que el factorial se define por una multiplicación, y ahora usted está hablando de adición. Multiplicando todos los que junto hubiera dado la respuesta correcta, que es 0.

17-13 = 4 $$4! mod 13 \equiv 4 mod(13) \space 3 mod(13)... etc$$ 4+3+2+1 = 10

Mismo aquí, un montón de confusión entre la adición y la multiplicación.

Answer 3

Su primer intento habría sido bueno si (1) usted ha dicho que "se multiplican todos los que juntos" en lugar de "agregar todos los que juntos" y (2) que había seguido durante un par de pasos más, por lo que se estaría multiplicando 4 (procedentes de 17 mod 13) a veces 3 (de 16 mod 13) 2 veces (desde el 15 mod 13) veces 1 (provenientes de 14 mod 13) los tiempos 0 (procedentes de 13 veces 13). Y entonces usted puede dejar, porque ahora su producto es cero y seguirá siendo cero no importa qué otra cosa se multiplica por. (A veces, la multiplicación de un montón de números en realidad es más fácil que la adición de ellos.)

Su segundo intento parece estar basada en un plausible idea, a saber, que el 17 es congruente a 4 mod 13, así que esperamos que 17! para ser congruente con el 4!. Por desgracia, esta expectativa no es la correcta.

Por otra parte, el fracaso de esta expectativa puede ser muy instructivo (tal vez no para ti, si ya sabes el siguiente, pero luego para los otros lectores). Los estudiantes a menudo se aburre de teoremas como "Si $a\equiv b\pmod n$$c\equiv d\pmod n$$a+c\equiv b+d\pmod n$", especialmente si el siguiente teorema dice lo mismo con la resta en lugar de sumar (es decir, $a-c\equiv b-d\pmod n$), y el teorema después de que dice la misma cosa para la multiplicación. ¿Por qué no podemos simplemente hacer una regla general de que la $\equiv\pmod n$ obras como la igualdad, así como la podemos reemplazar iguales por iguales y conseguir la igualdad de resultados, debemos ser capaces de reemplazar a los "congruents" por "congruents" y obtener resultados congruentes? Así, los teoremas decir esto funciona bien siempre y como todo lo que estamos haciendo es sumar, restar y multiplicar. Pero, como se vio en este problema, se hace no funciona cuando usted hace otras cosas a sus números, como tomar factoriales. Así que realmente hay algo de valor en esos aburridos teoremas --- lo que usted diga en que los contextos de la congruencia se comporta como la igualdad.