Problema de comprensión de una prueba en Categorías de Modelos por Hovey

Question

Tengo serios problemas para entender esta prueba del libro Categorías de modelos , por Mark Hovey:

Aquí hay una lista de cosas que no entiendo:

1. Intenta demostrar la afirmación por contradicción, mostrando que hay una secuencia en $f(A)$ (que es compacto) sin punto límite. Por lo tanto, debe demostrar que $S$ es discreto en la topología del subespacio y está cerrado como subconjunto de $f(A)$ (sólo la discreción no sería suficiente, de hecho la secuencia $\{1/n\}_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathbb{R}$ tiene la topología discreta como un subespacio de $\mathbb{R}$ y $0$ como punto límite). Hovey afirma haber demostrado la discreción, pero no veo ninguna prueba de cercanía.
2. No entiendo por qué $S$ debe tener la topología discreta como un subespacio de $X_\mu$ .

Cualquier ayuda para entender la prueba será agradecida.

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NOTAS:

• A cerrado $T_1$ inclusión se define como una inclusión $f:X\rightarrow Y$ (así, $U\subseteq X$ es abierto si, y sólo si, hay algún $V\subseteq Y$ tal que $f^{-1}(V) = U$ ) que también es un mapa cerrado, ya que cada punto de $Y\backslash f(X)$ está cerrado.

Answer 1

La suposición de que el $X_\alpha$ formar un $\lambda$ -incluye en particular que para cada ordinal límite $\kappa \leq \lambda$ tenemos $X_\kappa = \varinjlim_{\alpha \lt \kappa} X_\alpha$ .

Dado que los colímetros dirigidos no se modifican al pasar a subconjuntos cofinales del conjunto de indexación, tenemos $X_\mu = \varinjlim_{\alpha_n} X_{\alpha_n}$ . En otras palabras, $X_\mu$ lleva la topología final inducida por el sistema $X_{\alpha_0} \to X_{\alpha_1} \to \cdots$ . Esto implica que un subconjunto $B$ de $X_\mu$ es cerrado si $X_{\alpha_n} \cap B$ está cerrado en $X_{\alpha_n}$ para todos $n$ .

Hovey argumenta que para cada subconjunto $S' \subseteq S$ tenemos que $X_{\alpha_n} \cap S'$ está cerrado en cada $X_{\alpha_n}$ (ya que es finito y está contenido en $X_{\alpha_n} \setminus X_{\alpha_0}$ ), por lo que $S'$ está cerrado en $X_\mu$ . Esto se aplica en particular a $S$ mismo, por lo que $S$ está cerrado en $X_{\mu}$ y como todo subconjunto $S' \subseteq S$ está cerrado en $X_\mu$ se deduce que $S$ es discreto.

Por otro lado, el mapa $X_\mu \to X_\lambda = \varinjlim_{\alpha \lt \lambda} X_\alpha$ es una inclusión cerrada, por lo que todo subconjunto $S'$ de $S$ también está cerrado en $X_\lambda$ . Como todo subconjunto de $S$ está cerrado en $X_\lambda$ tenemos que $S$ es un subconjunto discreto cerrado infinito del espacio compacto $f(A) \subseteq X_\lambda$ , lo cual es imposible.

Answer 2

1) Voy a demostrar un resultado general:

Resultado 1: Dejemos que $X$ ser un $T_1$ espacio y $S$ sea un subconjunto de $X$ . Si $S$ no tiene una acumulación, entonces es cerrado y discreto.

Prueba: $S$ está cerrado: desde $\overline{S}=S\cup S'$ y $S'=\emptyset$ entonces $\overline{S}=S$ . $S$ es discreto: para cualquier punto $s\in S$ existe un conjunto abierto $U$ de $s$ tal que $U\cap S$ es finito (¿Por qué?), digamos $\{s_i: 1\le n\}$ y por lo tanto $s$ tiene un conjunto abierto $O=U \cap \{U_i:i\le n\}$ tal que $O\cap S=\{s\}$ , que atestigua que $S$ es discreto, donde cada $U_i$ es un nbhd de $s$ tal que $x_i \notin U_i$ . Esto completa la prueba.

2) Ya que $S$ es discreto, existe $\{U_s: s\in S\}$ de $f(A)$ tal que $U_s \cap S=\{s\}$ . Para demostrar que $S$ es discreto en el $X_\mu$ como la subsapia de $X_\mu$ . Sólo deja que $V_s=U_s \cap X_\mu$ . Entonces $\{V_s: s\in S\}$ es la familia de conjuntos abiertos de $X_\mu$ testigos que $S$ es discreto en el $X_\mu$ .