En Documento de Smith sobre los grupos de homotopía para las variedades de Lorentz, construye el espacio de bucles de todos los bucles semejantes en el tiempo de la siguiente manera :
- Consideremos todas las curvas temporales continuas a trozos que comienzan y terminan en el punto $x$ . Esto incluye curvas temporales con $q$ cambios en la orientación temporal (el vector tangente del final de un segmento tiene una orientación temporal opuesta al principio del siguiente)
- Incluya también en el grupo las picaduras con base en $x$ que se hacen a partir de trayectorias arbitrarias $\gamma$ de la siguiente manera : una picadura es una curva de la forma $\gamma \ast \gamma^{-1}$ con $\gamma(0) = x$ .
- Incluir inserciones de picaduras en los caminos. Para un trayecto $\gamma$ Consideremos un punto $y$ en $\gamma$ y descomponerlo en dos caminos $\gamma = \gamma_+ \ast \gamma_-$ con $\gamma_+(1) = y$ . La inserción de un aguijón $f \ast f^{-1}$ en $y$ es $\gamma^* = \gamma_+\ast f\ast f^{-1} \ast \gamma_-$ .
- También incluye la trayectoria constante, $e(\lambda) = x$
El espacio del bucle queda definido por todos esos elementos, y la composición del camino $\ast$ tiene una estructura de grupo.
La motivación que se da para la inclusión de los stings parece ser que permite la estructura de grupo (aunque tampoco se dice claramente), pero eso no parece correcto, ya que la trayectoria constante y las curvas timelike parecen suficientes para ello. ¿Cuál es el propósito de añadir aguijones al espacio de bucle? De todos modos, todas las curvas implicadas serán equivalentes a una curva sin aguijón.
