Aquí está mi prueba de que el cofinite topología sobre un conjunto infinito $X$ está conectado.
$X$ está conectado a $\iff$ a que no Hay vacío discontinuo abrir subconjuntos $U, V \subseteq X$ tal que $U \cup V = X$.
Deje $U, V \in X$ no puede ser vacío discontinuo abrir los subconjuntos de a $X$ tal que $U \cup V = X$.
Como $U \cup V = X$$U \cap V = \emptyset$,
$\implies U^c = V$ $V^c = U$.
$\implies U$ $V$ son conjuntos finitos.
$\implies U \cup V$ es finito.
Pero $U \cup V = X$ que es infinita por lo que tenemos una contradicción. De ahí a que no hay vacío discontinuo abrir subconjuntos $U, V \subseteq X$ tal que $U \cup V = X$. Por lo $X$ está conectado.
Es mi entendimiento correcto?
