¿Qué es la intuición detrás de lo siguiente?
Entre los números primos impares:
- Los que tienen resto $3$ a división por $4$ siendo primer en $\mathbb{Z}[i]$.
- Aquellos que dejan el resto $1$ pueden tenerse en $\mathbb{Z}[i]$.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
carmichael561
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Supongamos que $p$ puede ser escrita como una suma de (entero) plazas, decir $p=a^2+b^2$. Luego tenemos a $p=(a+bi)(a-bi)$$\mathbb{Z}[i]$$N(a+bi)=a^2+b^2=p$, lo $a+bi$ no es una unidad. Del mismo modo $a-bi$ no es una unidad. Por lo tanto, si $p$ puede ser escrita como una suma de cuadrados, entonces no es el primer en $\mathbb{Z}[i]$.
Por otro lado, si $p$ se divide en $\mathbb{Z}[i]$ (desde $\mathbb{Z}[i]$ es un PID), podemos escribir la $p=\pi_1\pi_2$ donde $\pi_1=a+bi$ $\pi_2=c+di$ son los principales elementos. Tomando normas de ambos lados lleva a $$ p^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2) $$ y desde $\pi_1,\pi_2$ no son unidades de ello se sigue que $a^2+b^2=p$, lo $p$ puede ser escrito como suma de dos cuadrados. (Con un poco más de trabajo, uno puede mostrar que $\pi_2=\overline{\pi}_1$).
Por lo tanto, el problema de que los números primos dividir en $\mathbb{Z}[i]$ es equivalente al problema de que los números primos son la suma de dos cuadrados. Desde $2=1+1$ (e $2=(1-i)(1+i)$$\mathbb{Z}[i]$), que realmente sólo se preocupan por los impares, números primos.
Utilizando el hecho de que las plazas son siempre $0$ o $1$ mod $4$, se deduce que, si $p=a^2+b^2$ es una extraña prime, a continuación, debemos tener $p\equiv 1$ (mod $4$). Se tarda un poco más de trabajo para mostrar que cada prime $p\equiv 1$ (mod $4$), de hecho, puede ser escrito como suma de dos cuadrados, pero hay varios enfoques. Un buen enfoque es el uso de Minkowski es convexa, cuerpo teorema.
