Representación de Algebra de Lorentz y QFT

Question

Sólo tengo un problema que hace una completa analogía entre Lorentz Álgebra Representación en la Teoría Cuántica de campos (QFT) y SU(2) la representación de la Mecánica Cuántica (QM).

Para hacer mi punto, voy a escribir algunas cosas que yo creo que es cierto para el caso de QM. Primero vamos a empezar por mirar a la rotación de las matrices en la Mecánica Clásica, representados por matrices de $R \in SO(3)$.

Entonces, asociamos unitaria de las matrices con $R$, $D(R)$, y estas matrices de la forma $SU(2)$ grupo. Ahora, nos fijamos en el álgebra de $SU(2)$ encontrar fundamentales de la conmutación de las relaciones entre los generadores de $D(R)$, es decir, $$[J_i,J_j] = i\epsilon_{ijk}J_k$$

A continuación, buscamos diferentes representaciones de estos generadores se caracteriza por diferentes momentos angulares (que define la dimensión del espacio vectorial que los generadores de la ley).

La representación que utilizamos, entonces también le da una expresión explícita para nuestro unitaria de las matrices de $D(R)$ por $$D(R) = \exp(\frac{i\vec{J}\cdot\hat{n}}{\hbar}).$$

También, puedo definir vectores y tensores por este unitaria de la matriz, $D(R)$. Por ejemplo, el vector $V_i$ se transforma por la $$D(R)^{-1} V^i D(R) = R_{\:j}^i V^j.$$

Ahora, quiero de manera similar de entender el QFT del caso con el grupo de Lorentz. (Actualmente estoy siguientes QFT texto por Srednicki).

Voy a empezar con matrices de Lorentz $\Lambda$, y asociarlo con unitaria de las matrices, $U(\Lambda)$. Tengo una definición similar de 4-vectores en QFT como en QM: $$U(\Lambda)^{-1} V^i U(\Lambda) = \Lambda_{\:j}^i V^j.$$

También puede definir los generadores de $U(\Lambda)$, $M^{\mu\nu}$, y derivan su fundamental relaciones de conmutación, $$[M^{\mu\nu},M^{\rho\sigma}]=\cdots.$$

Ahora, haciendo completa analogía con QM, espero encontrar la representación de $M^{\mu\nu}$ y la representación de $U(\Lambda)$ por exponentiating $M^{\mu\nu}$.

Pero en lugar de eso, vamos a continuar buscando la representación de $\Lambda$, en lugar de $U(\Lambda)$, al igual que en QM. Por ejemplo, como para la izquierda Weyl-spinor representación, me parece representación $L(\Lambda)$: $$U(\Lambda)^{-1} \psi_a(x) U(\Lambda) = L_a^{\:b}(\Lambda) \psi_b(\Lambda^{-1} x).$$

Ahora, tengo un generador de $S_L$ (lo que es ahora no es necesario ser Hermitian (a diferencia de QM)), lo que da $L(\Lambda)$ cuando exponentiated (en lugar de $U(\Lambda)$ (a diferencia de QM)).

Yo no obtener una expresión explícita (a diferencia de QM) por $U(\Lambda)$, así que no sé qué pensar de ellos o de sus generadores $M^{\mu\nu}$. Por ejemplo, puedo obtener expresiones que involucran tanto el $M^{\mu\nu}$ $S_L^{\mu\nu}$ ((mientras que en QM, ya que yo buscaba una representación de $D(R)$ (en lugar de $R$), la cantidad análoga a $M^{\mu\nu}$ $S_L^{\mu\nu}$ eran la misma cosa)).

Sé que no es finito unitaria representación de la Lorentz álgebra, por lo que creo que debe ser la pieza que faltaba en mi entendimiento. Me gustaría hacer una analogía con QM, podría alguien por favor ser de ayuda?

Gracias.

Answer 1

La confusión surge porque estamos no completamente análoga a la no-relativista QM aquí.

Dado un (quantum o clásica) campo de $\phi$, se suele especificar si se trata de un "escalar", "spinor", "tensor", en cualquier campo. Esto se refiere a un finito-dimensional representación $\rho_\text{fin}$ del grupo de Lorentz el campo se transforma en un elemento: $$ \phi \overset{\Lambda}{\mapsto} \rho_\text{fin}(\Lambda)\phi$$ Pero, simultáneamente, el campo cuántico es un operador en el espacio de Hilbert de la teoría, y en el espacio de Hilbert debe existir un unitaria representación $U$. Más precisamente, cada componente $\phi^\mu$ del campo cuántico es un operador, y por lo tanto se transforma como a los operadores a hacer: $$ \phi^\mu \overset{\Lambda}{\mapsto} U(\Lambda)\phi^\mu U(\Lambda)^\dagger$$ Ahora es uno de los Wightman axiomasque $$ U(\Lambda)\phi U(\Lambda)^\dagger = \rho_\text{fin}(\Lambda)\phi$$ o, en los componentes de $$ U(\Lambda)\phi^\mu U(\Lambda)^\dagger=\rho_\text{fin}(\Lambda)^\mu_\nu\phi^\nu$$ Es por esta suposición de que basta con dar lo finito-dimensional representación del campo cuántico para corregir también el acompañamiento de la representación unitaria en el infinito-dimensional espacio de Hilbert es un operador. Las dimensiones infinitas representaciones se caracterizan por Wigner la clasificación a través de su masa y spin/helicidad. Desde lo finito-dimensional de las representaciones en los campos se caracterizan también por los giros de la masa (de la cinética término del campo) y la vuelta de el campo (desde sus finito-dimensional de la representación) corrección de la central unitaria de representación de las partículas que se crea transformar en.

Todo esto es a menudo cepillado debajo de la alfombra, porque para el invariante de Lorentz vacío $\lvert\Omega\rangle$, tenemos $$ \phi \lvert \Omega \rangle \overset{\Lambda}{\mapsto} \rho_\text{fin}(\Lambda) \phi \lvert\Omega\rangle$$ así que sabiendo lo finito-dimensional representación es suficiente para saber cómo todos los estados el campo crea desde el vacío de transformación, y desde los espacios de Fock son completamente construcción de dichos estados, esto es todo el conocimiento práctico acerca de la central unitaria de representación que normalmente es necesario.