¿Geodésicas idénticos implica múltiplo escalar de métrica?

Question

Supongamos que $(M,g^1)$ y $(M,g^2)$ son dos espacios métricos intrínsecos con el mismo conjunto subyacente $M$.

Suponer que cada $p,q\in M$, para cada geodésica $\gamma^1{[p,q]}$ $p$ $q$ $g^1$ hay de conexión existen una geodésica $\gamma^2{[p,q]}$ conexión p y q y y $g^2$ idéntico a él y viceversa.

¿Esto implica que el $g^1$ es un múltiplo de $g^2$?

Answer 1

No. Considere el modelo de su conjunto $M$ un trípode. (Un trípode es un gráfico con un vértice de grado tres y tres vértices de grado uno conectado a ella).

Para sus diferentes métricas de longitud, acaba de asignar los bordes de los trípodes de diferentes longitudes, y equipar el espacio con la longitud de la métrica inducida por los borde de las longitudes (decisiones de cada borde en un isométrico copia de $[0,L]$ donde $L$ es su longitud.)

Cualquiera de las dos trípodes tienen el mismo setwise geodesics, pero no necesitan tener los mismos parámetros, incluso a escala.

Answer 2

Su notación sugiere otra alternativa: dejar $g^2 = (g^1)^2$--un extremo local de $g^1$ también es un extremo local de su plaza. De hecho, que $\phi$ estrictamente ser aumento en $[ 0, \infty )$, y $g^2 = \phi(g^1)$ replica la extrema de $g^1$. Por lo tanto geodésicas (trayectorias cuya longitud es de primer orden inmóvil bajo perturbación, por lo tanto corresponden a extrema local) se conservan bajo cualquier tal $\phi$.