¿Tiene toda EDO una primera integral?

Question

Esta pregunta podría tener una respuesta obvia, pero se me escapa. Equivale a preguntar si toda EDO puede resolverse en cuadraturas. Por ejemplo, una EDO de primer orden puede reducirse a cuadraturas si podemos resolver el factor de integración $ mu$ . Esto requiere resolver una ecuación diferencial parcial de primer orden, y hasta donde yo sé no hay teoremas de existencia generales sobre ellas.

Una posible pregunta equivalente sería, dada una función $x=f(t,c)$ ¿podemos encontrar dos funciones $F(x,t)$ y $G(c)$ , de tal manera que $F(f(t,c),t)=G(c)$ ?

Answer 1

La respuesta a la pregunta viene dada por el teorema de la forma canónica local para campos vectoriales no singulares.
Si nuestra oda $\dot\gamma(t)=X_{\gamma(t)}$ está asociado a un campo vectorial no singular $X$ en un liso $n\textrm{-dimensional}$ colector $M$ entonces cualquier punto tiene un sistema de coordenadas $(x_1,\ldots,x_n)$ tal que $X=\frac{\partial}{\partial x_1}.$
En consecuencia, $x_2,\ldots,x_n$ es el sistema de $n-1$ primera integral independiente de la oda $\dot\gamma=X_{\gamma(t)}.$
Como referencia puedes mirar cualquier libro de análisis sobre colectores, o la página de Wikipedia sobre el Teorema del enderezamiento .