Rudin dijo en su libro Real y Complejo Análisis acerca de esto que "a veces es útil para conocer las condiciones en las que la igualdad se puede sostener en una desigualdad. En muchos casos esta información puede ser obtenida mediante el examen de la prueba de la desigualdad". Voy a tratar de seguir su sabiduría y examinar una prueba de la desigualdad de triángulo:
[Prueba de la desigualdad de triángulo.]
Queremos mostrar que
$$
\|f+g\|_p\leq\|f\|_p+\|g\|_p\tag{0}
$$
Cuando la HR es $0$, la prueba es trivial. Supongamos que el resultado es positivo. Por homogeneidad $\|cf\|_p=|c|\|f\|_p$ podremos reducir, para el caso de $\|f\|_p=1-\lambda$ $\|g\|_p=\lambda$ algunos $0\leq\lambda\leq 1$. Los casos de $\lambda=0,1$ son triviales, así que supongo $0<\lambda<1$. Escrito $F:=f/(1-\lambda)$ $G:=g/\lambda$ podemos reducir a la convexidad de la estimación:
$$
\|(1-\lambda)F+\lambda G\|_p\leq 1\quad\text{cuando } \|F\|_p=\|G\|_p=1\
\text{y }0\leq\lambda\leq 1.\la etiqueta{1}
$$
Pero desde $z\mapsto|z|^p$ es convexa para $p\geq 1$, tenemos las coordenadas sabio convexidad obligado
$$
|(1-\lambda)F(x)+\lambda G(x)|^p\leq (1-\lambda)|F(x)|^p+\lambda |G(x)|^p.\la etiqueta{2}
$$
La integración de más de $x$, obtenemos
$$
\|(1-\lambda)F+\lambda G\|_p^p\leq 1\etiqueta{3}
$$
y por lo tanto la demanda de la siguiente manera.
Tenga en cuenta que íbamos a conseguir la igualdad en (0) sólo si conseguimos la igualdad en (3), lo que implica que tenemos la igualdad en (2) para casi todas las $x$:
$$
|(1-\lambda)F(x)+\lambda G(x)|^p= (1-\lambda)|F(x)|^p+\lambda |G(x)|^p.\la etiqueta{4}
$$
Se sigue de (4) que
$$
F(x)=G(x)\quad una.e.\la etiqueta{5}
$$
es decir,
$$
\frac{f(x)}{1-\lambda}=\frac{g(x)}{\lambda}\quad una.e.
$$
Hemos terminado.
Para ver cómo (4) implica (5), considere las siguientes desigualdades:
$$
|(1-\lambda)+\lambda b|^p\leq((1-\lambda)|a|+\lambda |b|)^p
\leq (1-\lambda)|a|^p+\lambda|b|^p\etiqueta{6}
$$
Cuando tenemos $
|(1-\lambda)+\lambda b|^p= (1-\lambda)|a|^p+\lambda|b|^p
$, (6) las fuerzas
$$
|(1-\lambda)+\lambda b|^p=((1-\lambda)|a|+\lambda |b|)^p
=(1-\lambda)|a|^p+\lambda|b|^p.\la etiqueta{7}
$$
Desde el mapa de $x\mapsto x^p$ es estrictamente convexa (por el positivo de la segunda derivada) en $(0,\infty)$, el segundo signo de igualdad en (7) implica $|a|=|b|$ e lo $a=\pm b$. Por el primer signo de igualdad en (7), debemos tener $a=b$.
[Añadido:]
Tenga en cuenta que este argumento falla por $p=1$ (que era un error tipográfico en la OP señaló en el comentario), ya que se han aprovechado de la estricta convexidad del mapa $x\mapsto x^p$ aquí. Uno realmente tiene fácil contraejemplos para la declaración de al $p=1$.
