cómo determinar el Fin $(\mathbb{Q},+)$

Question

Creo que cada homomorfismo está determinado por el mapa de $ \operatorname{id} $ . Así que Fin $(\mathbb{Q},+)$ es isomorfo a $\mathbb{Q}$ pero no estoy seguro de que sea correcto.

Answer 1

Tus afirmaciones son ciertas; si quieres demostrar que alguna vez un homomorfismo está determinado por $1$ Obsérvese que si $f:\mathbb Q\rightarrow \mathbb Q$ es un homomorfismo, entonces tenemos claramente $f(-n)=-f(n)$ y $f(n+1)=f(n)+f(1)$ . Utilizando estas identidades determinamos el valor de $f$ en $\mathbb Z$ dado el valor de $f(1)$ . Además, podemos demostrar que $$f\left(\underbrace{\frac{p}q+\ldots+\frac{p}q}_{q\text{ times}}\right)=\underbrace{f\left(\frac{p}q\right)+\ldots+f\left(\frac{p}q\right)}_{q\text{ times}}$$ donde el lado izquierdo es igual a $f(p)$ que es un número entero y, por tanto, ya determinado y, sabiendo que sólo hay una solución racional para $$c=\underbrace{r+\ldots+r}_{n\text{ times}}$$ basta para determinar $f\left(\frac{p}q\right)$ . A partir de aquí, puesto que $f(1)$ podría ser cualquier $(f+g)(1)$ sería la suma de los valores racionales asociados de $f$ y $g$ está claro que End( $\mathbb Q,+$ ) es isomorfo a $\mathbb Q$ ya que el mapa $f\mapsto f(1)$ es un isomorfismo entre los dos.

Answer 2

Defina $\phi: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}, 1 \mapsto r.$ A continuación, para cada $n \in \mathbb{N}, \phi(n) = nr.$ También $\phi(-n) = -\phi(n) = -nr.$ Así, $\phi(n) = nr, \forall n \in \mathbb{Z}.$ Toma $\frac{m}{n} \in \mathbb{Q}, m > 0$ Podemos escribir $\frac{m}{n} = \frac{1}{n} + \frac{1}{n} + \cdots + \frac{1}{n}$ ( $m$ sumandos). Así que $\phi(\frac{m}{n}) = m \phi(\frac{1}{n}).$ Así, en particular, para $m = n,$ obtenemos que $\phi(\frac{1}{n}) = \frac{r}{n}.$ Así $\phi(\frac{r}{n}) = \frac{mr}{n}.$ Del mismo modo para $m < 0.$ Por lo tanto $\phi(\frac{m}{n}) = \frac{mr}{n}, \forall \frac{m}{n} \in \mathbb{Q}.$

Por otra parte, para cualquier $r \in \mathbb{Q}, \phi: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}$ definido por $1 \mapsto r$ es un homomorfismo de grupo.