Encontrar el factor de integración de $(x^2y-2xy^2)\,dx+(x^3-3x^2y)\,dy=0$

Question

<blockquote> <p>Encontrar el factor de integración de la ecuación diferencial: $$(x^2y-2xy^2)\,dx+(x^3-3x^2y)\,dy=0$ $</p> </blockquote> <p><strong>Lo he intentado:</strong></p> <p>Se trata de una ecuación homogénea.</p> <p>Por lo tanto,</p> <p>$$I.F=\frac{1}{Mx+Ny}=\frac{1}{(x^2y-2xy^2)x+(x^3-3x^2y)y}=\frac{1}{x^3y-2x^2y^2+x^3y-3x^2y^2}$$</p> <p>Sin embargo, la respuesta dada es:</p> <p>$$I.F=\frac{1}{x^2y^2}$$</p>

Answer 1

No sé si se aplica el llamado "teorema" en condiciones convenientes, pero la ecuación que encontraste es falso. Coteje con el factor de integración correcta: $$I.F.=x^2y^4$ $ $$x^2y^4\left((x^2y-2xy^2)\,dx+(x^3-3x^2y)\,dy\right)=0$ $ $$(x^4y^5-2x^3y^6)\,dx+(x^5y^4-3x^4y^5)\,dy=0$ $ $$d(\frac15 x^5y^5-\frac12 x^4y^6)=0$ $ $$\frac15 x^5y^5-\frac12 x^4y^6=C$ $

Answer 2

Sugerencia: Hacer la sustitución $$y(x)=xv(x)$ $ entonces obtenemos

$$\frac{dv(x)}{dx}=\frac{-5v(x)^2+2v(x)}{x(3v(x)-1)}$ $ $$\frac{\frac{dv(x)}{dx}(3v(x)-1)}{-5v(x)^2+2v(x)}=\frac{1}{x}$ $ se trata y podemos integrar

¿$$\int \frac{\frac{dv(x)}{dx}(3v(x)-1)}{-5v(x)^2+2v(x)}dx=\int \frac{1}{x}dx$ $ Se puede terminar?

Answer 3

Sin embargo no estoy familiarizado con su método, pero tal vez esto este método de la ecuación homogénea puede ayudar. Tenemos $$f(x,y)=-\dfrac{x^2y-2xy^2}{x^3-3x^2y}=y'$ $ es homogéneo en el sentido de $$\color{red}{f(tx,ty)=t^\alpha f(x,y)}$ $ después $ de $$y'=-\dfrac{\frac{y}{x}-2(\frac{y}{x})^2}{1-3\frac{y}{x}}$ con $u=\dfrac{y}{x}$ % $ $$u'x+u=-\dfrac{u-2u^2}{1-3u}$que es separable.