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Media posterior si la señal es un intervalo en lugar de una realización

Suponga que una señal o de observación de la $s_1$ se extrae de la distribución normal $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ donde $\sigma^2$ es conocida pero $\mu$ no lo es. Queremos estimar $\mu$$s_1$.

Supongamos, además, tenemos una normal antes de la distribución de $\mu$,$\mathcal{N}(\mu_0,\sigma_0^2)$.

En este caso es fácil determinar la distribución posterior dado $s_1$, lo cual es normal (lo normal es un conjugado de antes), y la posterior significa también es fácil de determinar como $$E[\mu|s_1]=\frac{\mu_0/\sigma_0^2+s_1/\sigma^2}{1/\sigma_0^2+1/\sigma^2}.$$

Ahora mi pregunta: ¿Pero si no podemos observar $s_1$ directamente; por el contrario, sólo sabemos si la realización de $s_1$ está por encima o por debajo de un cierto umbral de $t\in\mathbb{R}$. Es decir, en lugar de la observación de $s_1$, sólo observamos $\mathbf{1}\{s_1\ge t\}$ ($\mathbf{1}$ es el indicador de la función).

Desde la "evidencia" es ahora un intervalo en lugar de un punto de realización, cómo calcular la parte posterior de la media de $E[\mu|\mathbf{1}\{s_1\ge t\}]$? Es la parte posterior de la distribución normal? Estoy en una pérdida aquí. Cualquier ayuda o referencias a la ayuda sería muy apreciada.

Edit: he calculado la distribución posterior numéricamente. Ver el gráfico de abajo (donde la "señal" indica que la realización está por encima del umbral). La parte posterior de la densidad está claro que no es simétrica, por lo tanto no es normal. Así que la pregunta sigue siendo: ¿hay una forma cerrada de la expresión de la parte posterior de la densidad, o una simple expresión para la posterior significa? enter image description here

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Håvard S Puntos 11152

Definiciones

  1. $X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ , $\sigma$ conocido y $\mu$ el parámetro de interés

  2. $\mu_0$ $\sigma_0$ son hyperparameters describir la previa distribución de probabilidad de $\mu$ tal que $\mu\sim\mathcal{N}(\mu_0,\sigma_0)$ $p(\mu|\mu_0,\sigma_0) = \mathcal{N}(\mu_0,\sigma_0)$

  3. $x$ es la observación, $p(\mu|x,\mu_0,\sigma_0)$ es la probabilidad posterior de que buscamos.

La Inferencia Bayesiana

Aquí está la Wikipedia referencia para las fórmulas. $$p(x|\mu_0,\sigma_0)=\int p(x|\mu,\sigma)p(\mu|\mu_0,\sigma_0)d\mu$$ $$p(\mu|x,\mu_0,\sigma_0) = \frac{p(x|\mu,\sigma)p(\mu|\mu_0,\sigma_0)}{p(x|\mu_0,\sigma_0)}$$

Intervalo de evidencia

Ya que no tenemos un fijo $x$, pero algunas pruebas de lo $x>t$, debemos ajustar las probabilidades de $x$, $p(x)$ y cambiar a $f(t)=1-c(t)$ donde $c(t)$ es la función de distribución acumulativa.

El $c(t)$ para una función normal es una escala adecuada función sigmoidea, que en el caso de una normal estándar es $\frac12 +\frac12\text{erf}(\frac{x}{\sqrt{2}})$ donde $\text{erf}$ es la función de error.

$p(x|...)$ ahora vuelve $p(x\geq t|...) = f(t|...)$.

Los cálculos

$$f(t|\mu,\sigma) = \frac12 - \frac12\text{erf}\left(\frac{t-\mu}{\sigma/\sqrt2}\right)$$ $$p(\mu|t,\mu_0,\sigma_0) = \frac{f(t|\mu,\sigma)p(\mu|\mu_0,\sigma_0)}{\int f(t|\mu,\sigma)p(\mu|\mu_0,\sigma_0)d\mu}=\frac{(\frac12-\frac12\text{erf}(\frac{t-\mu}{\sigma/\sqrt2}))(\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_0^2}}\exp{-\frac{(\mu-\mu_0)^2}{2\sigma_0^2}})}{\int_{-\infty}^{\infty}(\frac12-\frac12\text{erf}(\frac{t-\mu}{\sigma/\sqrt2}))(\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_0^2}}\exp{-\frac{(\mu-\mu_0)^2}{2\sigma_0^2}})d\mu}$$ El denominador es simplemente un factor de escala que pueden ser ignorados por el momento. En el análisis cualitativo, el $\text{erf}$ plazo de la escala de la normal diferencialmente para diferentes valores de $\mu$, dando lugar a una asimetría de la distribución sesgada por último. La escala exacta depende de los valores particulares.

Parcela el numerador normalizado por unidad de área para obtener la gráfica que usted busca.

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