¿Es$\Bbb Z[x]/(x^3-1)$ un anillo ideal principal?

Question

Al considerar el rango como un grupo abeliano, uno ve que cada ideal en$\Bbb Z[x]/(x^2-1)$ es principal. Qué pasa $\Bbb Z[x]/(x^3-1)$?

Editar:$\Bbb Z[x]/(x^3-1)$ no es isomorfo a$\Bbb Z[x]/(x-1) \oplus \Bbb Z[x]/(x^2+x+1)$ (por módulo$3$ argumento)

Answer 1

El ideal de $I=(3,x-1)$ de el anillo de $R=\Bbb{Z}[x]/(x^3-1)$ no es principal.

Asumir contariwise que el coset de $p=a+bx+cx^2$ generaría $I$. Deje $J$ ser el ideal generado por a $p$. Como un grupo abelian es generado por $p=a+bx+cx^2$, $xp=c+ax+bx^2$ y $x^2p=b+cx+ax^2$. Considere la posibilidad de la matriz $$ M=\left(\begin{array}{ccc}a&b&c\\c&a&b\\b&c&a\end{array}\right). $$ El índice de $J$ $R$ (si es finito) es $|\det M|=|a^3+b^3+c^3-3abc|$ (por la teoría básica de finitely generado abelian grupos, en particular factores invariantes y tal).

La fuerza bruta de verificación modulo $9$ muestra que cada vez que $3\mid \det M$ también contamos $9\mid\det M$. Por lo tanto $|\det M|\neq3$, $|R/J|\neq3$.

Pero $R/I\simeq \Bbb{Z}_3$, lo $J\neq I$.

Answer 2

Sugerencia:$x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1)$, por lo tanto$\mathbb{Z}[x]/(x^3 -1) \cong \mathbb{Z}[x]/(x-1) \times \mathbb{Z}[x]/(x^2+x+1) \cong \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}[\zeta]$, con$\zeta$ una tercera raíz de la unidad. ¿Puedes tomarlo desde aquí?