Las siguientes series convergen o divergen?

Question

¿La siguiente serie coverge o divergen?

$$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(\log n)^{\log\log n}}$$

Mis intentos: sé que $\log(\log n) > 2$

Así $\displaystyle\sum{n=2}^{\infty}\frac{1}{(\log n)^{\log\log n}}\le\sum{n=2}^{\infty} \frac{1}{(\log n)^{2}}\le\sum\frac{1}{n^2}$

por lo que la serie dada converge.

¿Es correcto?

Answer 1

Es incorrecto. No tenemos $\log n \ge n$.

Por el contrario, $(\log n)^{\log \log n} = \exp((\log \log n)^2) \le \exp(((\log n)^{1/2})^2) = n$ $n \ge N0$, que $$\sum{n=2}^\infty \frac 1 {(\log n)^{\log \log n}} \ge C + \sum_{n=N_0}^\infty \frac 1 n = \infty$ $

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Resultado implícito utilizado: $\log x \le x^\varepsilon$ % suficientemente grande $x$(dependiendo de $\varepsilon$) para cualquier $\varepsilon > 0$.

Answer 2

La serie es divergente. Tenga en cuenta que $a_n= \frac{1}{(\log n)^{\log\log n}}=\exp(-(\log\log n)^2)$ es positiva y decreciente y, por prueba de condensación de Cauchy, la convergencia de la serie dada es equivalente a la convergencia de $$\sum{n=2}^\infty 2^n\exp(-(\log\log 2^n)^2)=\sum{n=2}^\infty \exp(n\log 2-(\log n+\log\log 2)^2)$ $, que es divergente porque $n\log 2-(\log n+\log\log 2)^2\to +\infty$.