¿Un subgrupo y cociente determinar el grupo original?

Question

Me pregunto si hay un contraejemplo que muestra que los subgrupos y los cocientes de no determinar el grupo.

Más precisamente, supongamos que hay dos grupos de $G_1, G_2$ de manera tal que todos los de su propia no-trivial normal subgrupos se 1-1 correspondiente y si $1<H_1 < G_1, 1<H_2 < G_2$ son los propios normal subgrupos que corresponden, a continuación,$H_1 \simeq H_2$, e $G_1 / H_1 \simeq G_2/H_2$. (Aquí se $\simeq$ significa isomorfo.)

A continuación,$G_1 \simeq G_2$?

Supongo que podría no ser cierto en general, pero yo no conozco a ninguna que no sea trivial contraejemplo, excepto el par $(\mathbb{Z}_p, \mathbb{Z}_q)$.

Cualquier comentario sobre esto será muy apreciada!

Answer 1

Hay un contraejemplo del orden $605 = 11^2 \times 5$ con la estructura $11^2:5$. Que $$G = \langle x,y,z \mid x^{11}=y^{11}=z^5=1, xy=yx, x^z=x^4, y^z=y^5 \rangle,$ $ $$H = \langle x,y,z \mid x^{11}=y^{11}=z^5=1, xy=yx, x^z=x^4, y^z=y^3 \rangle.$ $ son $\mathtt{SmallGroup}(605,5)$ y $\mathtt{SmallGroup}(606,6)$ en la base de datos de grupos pequeños.

Tanto tiene $121$ conjugado subgrupos de orden $5$, dos subgrupos normales de orden $11$ con nonabelian cocientes de orden $55$, $10$ no-normal subgrupos de orden $11$, subgrupos de no normal de $22$ $55$ de la orden y un subgrupo normal de orden $121$.

Answer 2

Menor contraejemplo: $G_1=C_4$ de $x$ y $G_2=C_2 \times C_2$. Tomar $H_1=\langle x^2 \rangle$ y $H_2=C_2 \times {1}$.

Answer 3

Hay dos grupos (1) orden $4$. Cada uno tiene un subgrupo normal de orden $2$ modo que los grupos cociente también orden $2$. Hay sólo uno 1 grupo de orden $2$ para que los subgrupos son isomorfos y los grupos cociente son isomorfos.

(1) hasta isomorfismo.

Ver el problema de la extensión (Wikipedia)