Una bolsa contiene 64 bolas de ocho colores diferentes, con ocho de cada color. ¿Cuál es el número esperado de bolas que usted tendría que escoger (sin buscar) para seleccionar tres bolas del mismo color?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
JiminyCricket
Puntos
143
Deje $N$ el número de sorteos sin sustitución necesaria para sacar tres bolas del mismo color. La probabilidad de no sacar tres bolas del mismo color en $n$ sorteos se
$$ \mathsf P(N\gt n)=\binom{64}n^{-1}\sum_{p=0}^8\binom8p\binom82^p\binom{8-p}{n-2}\binom81^{n-2}\;, $$
donde $\binom{64}n$ es el número total de formas de elegir los $n$ $64$ bolas, $p$ ("par") es el número de colores de que las dos bolas están dibujados, $\binom8p$ es el número de maneras de seleccionar los colores, $\binom82^p$ es el número de maneras de elegir los pares de pelotas con esos colores, $n-2p$ es el número de colores de la que una sola bola se dibuja, $\binom{8-p}{n-2p}$ es el número de maneras de seleccionar los colores, y $\binom81^{n-2p}$ es el número de formas de elegir el único bolas con esos colores. Por lo tanto, se espera que el número de sorteos necesarios para sacar tres bolas del mismo color
\begin{eqnarray*} \mathsf E[N]&=&\sum_{n=0}^\infty\mathsf P(N\gt n)\\ &=&\sum_{n=0}^\infty\binom{64}n^{-1}\sum_{p=0}^8\binom8p\binom82^p\binom{8-p}{n-2p}\binom81^{n-2p} \\ &=& \frac{961520398523}{105047234105} \\ &\approx& 9.1532 \end{eqnarray*}
Aquí está el código Java de una simulación que confirma el resultado.
Tenga en cuenta que el esperado número de sorteos necesarios para la elaboración de tres bolas del mismo color, muy cerca del máximo número de $9$ de los sorteos necesarios para la elaboración de dos bolas del mismo color.
CodingBytes
Puntos
102
Aquí es un enfoque diferente.
Denotar por $(x,y)$ el estado cuando hay $x$ colores aún no dibujado, $y$ colores dibujado una vez, por lo tanto $8-x-y\geq0$ colores dibujado dos veces hasta ahora. En este estado hay $48+2x+y$ bolas a la izquierda en la bolsa, entre ellos $8x$ bolas de nunca dibujado colores y $7y$ bolas de una vez dibujado colores. Denotar por $E(x,y)$ el número esperado de planos complementarios cuando estamos en estado de $(x,y)$. A continuación,$E(0,0)=1$, y queremos saber $E(8,0)$. Este último valor puede ser calculado por medio de la siguiente recursión: $$E(x,y)=1+{8x\over 48+2x+y}E(x-1,y+1)+{7y\over 48+2x+y}E(x,y-1)\ .$$ Esta repetición se implementa en el siguiente programa en Mathematica:
