No es igual a

Question

Que $k$ ser un entero positivo y $x$ un número real positivo. Demostrar que $(1+x^k)^{k+1}\geq (1+x^{k+1})^k$.

Esto es similar a la desigualdad de Bernoulli. Si escribimos $X=x^k$, la desigualdad es equivalente a $(1+X)^{\frac{k+1}{k}}\geq 1+X^{\frac{k+1}{k}}$, pero esto no es exactamente en la forma donde podemos aplicar Bernoulli.

Answer 1

Que $f(X) = (1+X)^{r} - 1 - X^{r}$ $r> 1$. Entonces $f(0)=0$ y $$ f ' = r\left ((1+X) ^ {r-1}-X ^ {r-1} \right) \geq 0 $$ $X\mapsto X^{r-1}$ es un aumento de la función. Por lo tanto, también está aumentando el $f$ y obtenemos $f(X)\geq f(0)=0$ $X\geq 0$. Listo $r = (k+1)/k$.

Answer 2

Que $f(x)=x^{\alpha}$, donde $\alpha>1$.

Así, $f$ es una función convexa y desde positivos $a$ y $b$ tal que $a\geq b$ tenemos $$(a+b,0)\succ (a,b),$ $ por Karamata obtenemos: $$f(a+b)+f(0)\geq f(a)+f(b)$ $ o $$(a+b)^{\alpha}\geq a^{\alpha}+b^{\alpha}$$ and since the last inequality is symmetric, it's true for all positives $ a $ and $b$.

ID est, $a=1$, $b=x^{k}$ y $\alpha=\frac{k+1}{k}$ tenemos la desigualdad.

Answer 3

Caso 1. $x\le 1$.

Entonces $x^k\ge x^{k+1}$ y por lo tanto %#% $ #%

Caso 2. $$(1+x^k)^{k+1} = (1+x^k)(1+x^k)^k \ge (1+x^k)^k \ge (1+x^{k+1})^k.$.

La desigualdad se dividen por $x>1$ y obtener la siguiente forma equivalente $x^{k(k+1)}$ $ esto es sólo el caso 1. para el número $$\left(1+\left(\frac 1x \right)^k\right)^{k+1} \ge \left(1+\left(\frac 1x \right)^{k+1}\right)^k.$.

Answer 4

Para $r\geq 1$, por la Desigualdad de Minkowski que $$X+1=\big(X^r+0^r\big)^{\frac{1}{r}}+\big(0^r+1^r\big)^{\frac1r}\geq \left((X+0)^r+(0+1)^r\right)^{\frac{1}{r}}=\left(1+X^r\right)^{\frac{1}{r}}\text{ for all }X\geq0\,.$$ Esto demuestra que $$(1+X)^r\geq 1+X^r\,.$$ Tenga en cuenta que la desigualdad se convierte en una igualdad de iff $r=1$ o $X=0$. Ahora, para$k,l\in\mathbb{R}_{>0}$$k\leq l$, vemos que, con $X:=x^k$$r:=\frac{l}{k}$, tenemos $$\left(1+x^k\right)^{\frac{l}{k}}\geq 1+x^l\,,\text{ or }\left(1+x^k\right)^l\geq\left(1+x^l\right)^k\,,$$ para todos los $x>0$. La igualdad caso es al $x=0$ e al $k=l$. Este problema es un caso particular donde $l=k+1$. Además, llegamos a la conclusión de que la función de $f:\mathbb{R}_{\geq0}\times\mathbb{R}_{>0}\to\mathbb{R}$ definido por $$f(x,k):=\left(1+x^k\right)^{\frac1k}\text{ for all }x\geq0\text{ and }k>0$$ es una función no decreciente en $k$, y es estrictamente creciente con respecto a $k$$x>0$.