que $a_{n+1} = \log (1+a_n) $ $n \ge 1$. ¿Compruebe si $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ convergen o divergen?

Question

que $a1$ ser una arbitraria cantidad positiva y que $a{n+1} = \log (1+an) $ $n \ge 1$. ¿Compruebe si $\sum{n=1}^{\infty} a_n$ converge o diverge?

Mi intento: sé que $\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac {x^3}{3} \cdots$

Ahora aquí ¿cómo puedo conlcude que $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ converge o diverge?

Cualquier solución de sugerencias serán apreciada.

Answer 1

Por lo menos uno ve rápidamente que $a_n$ es estrictamente decreciente hacia $0$, que es una condición necesaria para la convergencia de la serie.

Sin embargo, la convergencia de la $a_n$ no es lo suficientemente rápida: Si $\frac1{2N}<a_n el="" entonces="">a_n\cdot\left(1-\frac{a_n}2\right)>an\cdot\left(1-\frac1{2N}\right)$. Por inducción, $a{n+k}>an\cdot\left(1-\frac1{2N}\right)^k$ y por la desigualdad de Bernoulli, $a{n+k}>an\cdot\left(1-\frac k{2N}\right)$. En particular, es lo menos $a{n+k}>\frac12 a_n$ $k<n contribuci="" de="" en="" la="" lo="" partida="" por="" t="" tanto="">\frac14$.</n></a_n>

Concluimos que el $\sum a_n$ diverge.

Answer 2

¡Busque consejos en math.SE! Argumentan que $$\lim_{n\to\infty} n\cdot an=2$$ by referring to [$a{n+1}=\log (1 + a_n), ~ a1 > 0$. Then find $\lim{n \rightarrow \infty} \cdot n a_n$. Por lo tanto la serie $\sum a_n$ difiere en comparación a la serie armónica.

](https://math.stackexchange.com/q/1072256/215011)

Answer 3

Un toque

Encontrar $\beta$ tal que $a_{n+1}^\beta - a_n^\beta$ converge. Basa en que usted puede encontrar un equivalente a $a_n$ y determinar si $\sum a_n$ converge o no.