Determine$2^{\frac{p-1}{4}}\equiv 1\pmod p$ o$2^{\frac{p-1}{4}}\equiv -1\pmod p$ cuando$p\equiv 1 \pmod 8$

Question

Deje $p=8k+1\equiv 1\pmod 8$ ser una de las primeras, lo $2$ es un residuo cuadrático módulo de $p$. Euler criterio de mostrar que $$2^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1 \pmod p.$$

Así que debemos tener $$2^{\frac{p-1}{4}}\equiv \delta(p) \pmod p$$ donde $\delta(p)=\pm1$.

Ahora mi pregunta es cómo determinar $\delta(p). $

He calculado muchos ejemplos. Las estadísticas muestran que el valor de $\delta(p)$ deberían estar relacionados con la paridad de $k$$h(-p)$, siendo este último el número de clase de $\mathbb{Q}(\sqrt{ -p })$. Yo sé poco de la teoría algebraica de números y la esperanza de que algunos expertos podría ayudarme a resolver este problema.

Espero su ayuda, muchas gracias!

Answer 1

OEIS / A014754 parece ser el primes$p \equiv 1 \bmod 8$ tal que$2^{\frac{p-1}{4}}\equiv 1 \bmod p$.

Estos son los números primos tales que$\pm 2$ es una cuarta potencia mod$p$.

También los números primos de la forma$x^2+64y^2$.

No se sabe mucho más sobre estos primos.