¿Una desigualdad integral implica una desigualdad pointwise?

Question

$\newcommand{\R}{\mathbb{R}}$ Deje $(f_n)_n \subset L^1(\R^N)$. Supongamos que para cualquier función no negativa $\phi \in C_c^{\infty}(\R^N)$, tenemos:

$$ 0 \leq \liminf_{n \rightarrow \infty} \int f_n \, \phi $$

Podemos concluir que el $0 \leq \liminf_{n \rightarrow \infty} f_n(x)$ para casi todas las $x \in \R^N$?

Mi primera idea es utilizar la definición de $\liminf$ para obtener una estimación de $\inf_{m \geq N} \int f_m \, \phi \geq -\epsilon$ donde $N$ depende de $\epsilon$. Sin embargo, no estoy seguro de dónde ir de allí.

Otro hecho que puede ser útil es que si $\int f \, \phi \geq 0$ por cada positivo $\phi \in C_c^{\infty}(\R^N)$,$f \geq 0$.e. (esto se demuestra de manera similar a corolario 4.24 en Brezis' Análisis Funcional). Podríamos ser capaces de usar esto para $f = \liminf f_n$, pero no he sido capaz de llegar al trabajo.

Answer 1

$N=1$, Consideremos las funciones $$ f_n(x): =\begin{cases} \sin(nx), & x\in [0,2\pi],\ 0, & \text{otherwise}. \end{casos} $, cada $\phi\in Cc(\mathbb{R})$, por Riemann-Lebesgue lema uno tiene $\lim{n\to+\infty} \int f_n \phi = 0$. Por otra parte, $\liminf_n f_n(x) = -1$ e.a. $x\in (0,2\pi)$ (y $0$ lo contrario).

Answer 2

En $\mathbb R,$ definir la secuencia $f_n$ como

$$-\mathbb {1}{[0,1]},-\mathbb {1}{[0,1/2]}, -\mathbb {1}{[1/2,1]}, -\mathbb {1}{[0,1/3]},-\mathbb {1}{[1/3,2/3]},-\mathbb {1}i{[2/3,1]}, \dots$$

Entonces $\int f_n\phi \to 0$ para cada $\phi \in L^1,$ pero $\liminf f_n(x) = -1$ por cada $x\in [0,1].$

Con un poco de cuidado extra podríamos conseguir cada $\liminf f_n(x) = -1$ $x\in \mathbb R.$