¿Por qué casi siempre son tan entero divisons de dígitos volteados?

Question

Después de jugar con mi calculadora durante un tiempo traté de hacer $\frac{9876543210}{0123456789}$ y salió como $80.000000729$ que llegó muy cerca de un número entero, así que lo probé por primera 16 número de bases y tengo esto:

Base 2 - 2 ->En base 2:($\frac{10}{01}$)->En base 10: ($\frac{3}{1}$)

Base 3 - 4.2 ->En base 3:( $\frac{210}{012}$) ->En base 10:($\frac{21}{5}$)

Base 4 - 8.444444444444445 ->En base 4:($\frac{3210}{0123}$) ->En base 10:($\frac{228}{27}$)

Base 5 - 15.103092783505154 ->En base 5:($\frac{43210}{01234}$) ->En base 10:($\frac{2930}{194}$)

Base 6 - 24.01608579088472 ->En base 6:($\frac{543210}{012345}$) ->En base 10:($\frac{44790}{1865}$)

Base 7 - 35.00183606557377 ->En base 7:($\frac{6543210}{0123456}$) ->En base 10:($\frac{800667}{22875}$)

Base 8 - 48.00016355570094 ->En base 8:($\frac{76543210}{01234567}$) ->En base 10:($\frac{16434824}{342391}$)

Base 9 - 63.00001189405568 ->En base 9:($\frac{876543210}{012345678}$) ->En base 10:($\frac{381367044}{6053444}$)

Base 10 - 80.000000729 ->En base 10:($\frac{9876543210}{0123456789}$) ->En base 10:($\frac{9876543210}{123456789}$)

Base 11 - 99.00000003855433 ->En base 11:($\frac{A9876543210}{0123456789A}$) ->En base 10:($\frac{282458553905}{2853116705}$)

Base 12 - 120.00000000179136 ->En base 12:($\frac{BA9876543210}{0123456789AB}$) ->En base 10:($\frac{8842413667692}{73686780563}$)

Base 13 - 143.00000000007418 ->En base 13:($\frac{CBA9876543210}{0123456789ABC}$) ->En base 10:($\frac{300771807240918}{2103299351334}$)

Base 14 - 168.00000000000276 ->En base 14:($\frac{DCBA9876543210}{0123456789ABCD}$) ->En base 10:($\frac{11046255305880158}{65751519677857}$)

Base 15 - 195.00000000000009 ->En base 15:($\frac{EDCBA9876543210}{0123456789ABCDE}$) ->En base 10:($\frac{435659737878916200}{2234152501943159}$)

Base 16 - 224 ->En base 16:($\frac{FEDCBA9876543210}{0123456789ABCDEF}$) ->En base 10:($\frac{18364758544493064000}{81985529216486900}$)

Esto me tomó demasiado tiempo para hacer... Bueno de todos modos esta cosa parece acercarse a un número entero.

Otra cosa que noté fue que las respuestas fueron sobre la Base n = $n^2-2n$ si se ignora la excepción de la base 2...

Puede alguien darme algún tipo de explicación?

Answer 1

El denominador en base $b$ está muy cerca de la primera repetición de la fracción $\frac 1{(b-1)^2}$. Por ejemplo en % base $10$tenemos %#% $ de #% que difiere de su denominador, excluyendo el $$\frac 1{81}=0.012345679012345679\ldots$. El patrón es general. Si tu expresas $8$ % base $\frac 1{25_{10}}$la repetición es $6$. El denominador es entonces muy cerca de $.01235_6$ si añades $\frac {b^b}{(b-1)^2}$ a su fracción, el numerador se convierte en $1$ por lo que su fracción es esencialmente $b^b-1$