Demostrar que la desigualdad $1+\frac{1}{2\sqrt{2}}+...+\frac{1}{n\sqrt{n}}<2\sqrt{2}$

Question

Que $n$ es un número natural. Demostrar que la desigualdad %#% $ #%

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Mi intento: $$1+\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{3}}+...+\frac{1}{n\sqrt{n}}

Por favor revise mi solución para mi y darme alguna idea.

Answer 1

Podemos considerar que $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ es una función convexa en $\mathbb{R}^+$, por lo tanto cualquier $n\in\mathbb{N}^+$ tenemos $$ f(n-1/2)-f(n+1/2) \geq -f'(n) $ $ o $$ \frac{1}{\sqrt{n-1/2}}-\frac{1}{\sqrt{n+1/2}} \geq \frac{1}{2n\sqrt{n}} $ $ que por creativo telescópico $$ \sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n\sqrt{n}} \leq 2\left(\frac{1}{\sqrt{1-1/2}}-\frac{1}{\sqrt{N+1/2}}\right) El mismo enfoque prueba $\zeta\left(\frac{3}{2}\right)\leq 1+2\sqrt{\frac{2}{3}}

Answer 2

Su suma puede ser escrito como $\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^{3/2}}=1+2^{-3/2}+\sum_{k=3}^n k^{-3/2}$. Desde $f(x)=x^{-3/2}$ está disminuyendo, podemos vinculado a la suma de arriba por una integral, es decir,

$$ \sum_{k=3}^n\frac{1}{k^{3/2}}\leq\int_2^n x^{-3/2}\,dx. $$ Nota específicamente el límite inferior de la integral.

La evaluación de la integral sobre el derecho de los rendimientos $$ \int_2^n x^{-3/2}\,dx=-2x^{-1/2}\bigg|_{x=2}^{x=n}=\frac{2}{\sqrt2}-\frac{2}{\sqrt n}. $$ Por lo tanto, hemos $$ \sum_{k=1}^n\leq1+2^{-3/2}+\frac{2}{\sqrt2}-\frac2{\sqrt n}\leq\frac{2^{3/2}+1+4}{2^{3/2}}. $$ Claramente $2^{3/2}=2\sqrt2=\sqrt8\leq\sqrt9=3$, por lo que tenemos $$ \frac{2^{3/2}+1+4}{2^{3/2}}\leq\frac{8}{2^{3/2}}=2\sqrt2. $$ Poniendo todo junto, entonces, tenemos $$ \sum_{k=1}^nk^{-3/2}\leq2\sqrt2. $$

Answer 3

Creo que su manera obtiene algo mal.

Por su trabajo:

Todos $n\geq2$ obtenemos: $$ \frac{1}{n\sqrt{n}}

Answer 4

La desigualdad original no puede ser probado directamente por inducción sino por la solución dada por Jack D'Aurizio es interesante notar que también podemos proceder por inducción demostrando el fuerte resultado

$$1+\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{3}}+...+\frac{1}{n\sqrt{n}}<2\sqrt{2}-\frac{2}{\sqrt{n+\frac12}}<2\sqrt{2}$$

de hecho es cierto para $n=1$ desde

$$1<2\sqrt 2-2\sqrt{\frac23}\approx 1.20$$

y por inducción paso obtenemos

$$1+\frac{1}{2\sqrt{2}}+...+\frac{1}{(n+1)\sqrt{n+1}}\stackrel{Hyp.}<2\sqrt{2}-\frac{2}{\sqrt{n+\frac12}}+\frac{1}{(n+1)\sqrt{n+1}}\stackrel{?}<2\sqrt{2}-\frac{2}{\sqrt{n+\frac32}}$$

que es cierto

$$\frac{1}{(n+1)\sqrt{n+1}}<\frac{2}{\sqrt{n+\frac12}}-\frac{2}{\sqrt{n+\frac32}} \iff \frac{1}{2n\sqrt{n}}<\frac{1}{\sqrt{n-\frac12}}-\frac{1}{\sqrt{n+\frac12}}$$

y por la convexidad de $f(x)=\frac1{\sqrt {n-x}}-\frac1{\sqrt {n+x}}$ hemos

$$f'(x)=\frac1{\sqrt {(n-x)^3}}+\frac1{\sqrt {(n+x)^3}}$$

$$\frac1{2n\sqrt {n}}<f'(0)=\frac2{n\sqrt {n}}\le f(1/2)-f(0)=\frac{1}{\sqrt{n-\frac12}}-\frac{1}{\sqrt{n+\frac12}}$$