8 votos

Demostrar que la desigualdad $1+\frac{1}{2\sqrt{2}}+...+\frac{1}{n\sqrt{n}}<2\sqrt{2}$

Que $n$ es un número natural. Demostrar que la desigualdad %#% $ #%


Mi intento: $$1+\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{3}}+...+\frac{1}{n\sqrt{n}}

Por favor revise mi solución para mi y darme alguna idea.

11voto

Roger Hoover Puntos 56

Podemos considerar que $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ es una función convexa en $\mathbb{R}^+$, por lo tanto cualquier $n\in\mathbb{N}^+$ tenemos $$ f(n-1/2)-f(n+1/2) \geq -f'(n) $ $ o $$ \frac{1}{\sqrt{n-1/2}}-\frac{1}{\sqrt{n+1/2}} \geq \frac{1}{2n\sqrt{n}} $ $ que por creativo telescópico $$ \sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n\sqrt{n}} \leq 2\left(\frac{1}{\sqrt{1-1/2}}-\frac{1}{\sqrt{N+1/2}}\right) El mismo enfoque prueba $\zeta\left(\frac{3}{2}\right)\leq 1+2\sqrt{\frac{2}{3}}

5voto

medicine28 Puntos 16

Su suma puede ser escrito como $\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^{3/2}}=1+2^{-3/2}+\sum_{k=3}^n k^{-3/2}$. Desde $f(x)=x^{-3/2}$ está disminuyendo, podemos vinculado a la suma de arriba por una integral, es decir,

$$ \sum_{k=3}^n\frac{1}{k^{3/2}}\leq\int_2^n x^{-3/2}\,dx. $$ Nota específicamente el límite inferior de la integral.

La evaluación de la integral sobre el derecho de los rendimientos $$ \int_2^n x^{-3/2}\,dx=-2x^{-1/2}\bigg|_{x=2}^{x=n}=\frac{2}{\sqrt2}-\frac{2}{\sqrt n}. $$ Por lo tanto, hemos $$ \sum_{k=1}^n\leq1+2^{-3/2}+\frac{2}{\sqrt2}-\frac2{\sqrt n}\leq\frac{2^{3/2}+1+4}{2^{3/2}}. $$ Claramente $2^{3/2}=2\sqrt2=\sqrt8\leq\sqrt9=3$, por lo que tenemos $$ \frac{2^{3/2}+1+4}{2^{3/2}}\leq\frac{8}{2^{3/2}}=2\sqrt2. $$ Poniendo todo junto, entonces, tenemos $$ \sum_{k=1}^nk^{-3/2}\leq2\sqrt2. $$

3voto

Michael Rozenberg Puntos 677

Creo que su manera obtiene algo mal.

Por su trabajo:

Todos $n\geq2$ obtenemos: $$ \frac{1}{n\sqrt{n}}

1voto

gimusi Puntos 1255

La desigualdad original no puede ser probado directamente por inducción sino por la solución dada por Jack D'Aurizio es interesante notar que también podemos proceder por inducción demostrando el fuerte resultado

$$1+\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{3}}+...+\frac{1}{n\sqrt{n}}<2\sqrt{2}-\frac{2}{\sqrt{n+\frac12}}<2\sqrt{2}$$

de hecho es cierto para $n=1$ desde

$$1<2\sqrt 2-2\sqrt{\frac23}\approx 1.20$$

y por inducción paso obtenemos

$$1+\frac{1}{2\sqrt{2}}+...+\frac{1}{(n+1)\sqrt{n+1}}\stackrel{Hyp.}<2\sqrt{2}-\frac{2}{\sqrt{n+\frac12}}+\frac{1}{(n+1)\sqrt{n+1}}\stackrel{?}<2\sqrt{2}-\frac{2}{\sqrt{n+\frac32}}$$

que es cierto

$$\frac{1}{(n+1)\sqrt{n+1}}<\frac{2}{\sqrt{n+\frac12}}-\frac{2}{\sqrt{n+\frac32}} \iff \frac{1}{2n\sqrt{n}}<\frac{1}{\sqrt{n-\frac12}}-\frac{1}{\sqrt{n+\frac12}}$$

y por la convexidad de $f(x)=\frac1{\sqrt {n-x}}-\frac1{\sqrt {n+x}}$ hemos

$$f'(x)=\frac1{\sqrt {(n-x)^3}}+\frac1{\sqrt {(n+x)^3}}$$

$$\frac1{2n\sqrt {n}}<f'(0)=\frac2{n\sqrt {n}}\le f(1/2)-f(0)=\frac{1}{\sqrt{n-\frac12}}-\frac{1}{\sqrt{n+\frac12}}$$

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