El juego Balls

Question

$6$ bolas marcadas como $1,2,3,4,5$ $6$ son guardadas en una caja. Dos jugadores a y B empiezan a sacar $1$ pelota en un momento de la caja, una tras otra sin colocación de la bola hasta que el juego es largo. El número marcado en la pelota se agrega cada vez a la suma anterior para obtener la suma de los números marcados en las bolas de salir. Si esta suma es par, entonces $1$ punto para el jugador.

El primer jugador que consiga $2$ puntos es declarado ganador. En el inicio del juego, la suma es $0$. Si Una empieza a sacar la pelota, encuentre el número de formas en que puede ganar el partido.

MI PLANTEAMIENTO: Con el fin de hacer de los casos, he preparado la siguiente tabla y se trató de una lista de las formas en las que Una puede ganar.

Número de maneras para:

CASO $1$:$$3!=6$$

CASO $2$: $$ {3 \choose 1} \cdot {3 \choose 2} \cdot 2!=18$$

CASO $3$: $$ {3 \choose 3} \cdot {3 \choose 2} \cdot 2! \cdot 3! = 36$$

CASO $4$: $$ {3 \choose 3} \cdot {3 \choose 2} \cdot 2! \cdot 3! = 36$$

CASO $5$: $$ {3 \choose 3} \cdot {3 \choose 2} \cdot 2! \cdot 3!= 36$$

CASO $6$: $$ {3 \choose 3} \cdot {3 \choose 2} \cdot 2! \cdot 3!= 36$$

Número Total de maneras: $$\Rightarrow 36 \cdot 4 + 18 + 6 = 168$$

Pero mis libros dice que la respuesta debería ser $96$ que es completamente diferente de mi respuesta.

Dónde he titubeado en el que todo el enfoque?

Answer 1

Reproductor $A$ puede ganar en su segundo movimiento, o en su tercer movimiento.

$A$ gana en su segundo movimiento iff la secuencia empieza con $E$ y, a continuación, tiene un número de $O$s, por lo que

$$EEE\qquad EOO$$

Para $A$ ganar en su tercer mueva es necesario que los primeros cinco tiros contienen exactamente dos $O$s (de modo que el último movimiento por $A$ les aporta un punto). Hay ${5\choose 2}=10$ tales secuencias, a partir de la cual restamos los dos empezando con $EEE$$EOO$, por lo que sólo $8$ configuraciones para el estudio:

Escribo la secuencia de puntos ganados y parar cuando cualquiera de las $A$ gana o es evidente que no.

\begin{align*}OOEEE &\qquad 0111& B\\ OEOEE &\qquad 00111& A\\ OEEOE &\qquad 000&not \ A \\ OEEEO &\qquad000&not \ A \\ EOEOE &\qquad 10011&A\\ EOEEO &\qquad 10001&A\\ EEOOE &\qquad 1101&B\\ EEOEO &\qquad 11001&A\\ \end{align*}

Por lo tanto, su lista de configuraciones es completa, y su número es correcto.