Encuentre el mayor valor posible de
ps
Dado que el rango de la función$$\sin(a_1)\cos(a_2) + \sin(a_2)\cos(a_3) + \cdots + \sin(a_{2014})\cos(a_1)$ y$\sin$ está entre$\cos$ y$1$, ¿no debería ser la respuesta$-1$?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Que $a_{2015}=a_1.$
Así, por AM-GM $$\sum_{k=1}^{2014}\sin{ak}\cos{a{k+1}} \leq\sum_{k=1}^{2014}|\sin{ak}||\cos{a{k+1}}| \le$ $ $$\leq\sum_{k=1}^{2014}\frac{\sin^2ak+\cos^2a{k+1}}{2}=\sum_{k=1}^{2014}\frac{\sin^2a_k+\cos^2a_k}{2}=\frac{2014}{2}=1007.$ $
La igualdad ocurre $a_i=45^{\circ},$ que dice que $1007$ es un valor máximo.
Cesar Eo
Puntos
61
De
$$ f_n(a) = \sum_{k=1}^n \pecado a_k \cos a_{k+1} $$
con $a_{n+1} = a_1$
los puntos estacionarios se encuentran en las soluciones para
$$ \frac{\partial }{\partial a_k}f_n(a) = -\sin a_{k-1}\sin a_k + \cos a_k \cos a_{k+1} = 0 $$
y, a continuación,
$$ \tan a_n\tan a_{n-1}\cdots\tan a_{2} = \cuna a_1 $$
o
$$ \tan a_n\tan a_{n-1}\cdots\tan a_{2}\tan a_1 = 1 $$
o
$$ \prod_k\pecado a_k = \prod_k\cos a_k $$
que se obtiene para $a_k = \frac{\pi}{4}$ cuando
$$ f_n(a) = \frac n2 $$
