Monotonicidad de la función trigonométrica

Question

Considere la función $$f(x)=\frac{\sin(x)}{\sin((2k+1)x)}$$ con $k$ un número entero positivo. Parece que $f$ es estrictamente creciente en $[0,\frac{\pi}{2(2k+1)}]$ . ¿Existe alguna prueba fácil de esta propiedad de monotonicidad que no invoque la diferenciación (mediante desigualdades adecuadas)?

Answer 1

Usted tiene $\sin2x=2\sin x \cos x$ y $\sin 3x=\sin x \cos 2x + \cos x \sin 2x =\sin x (\cos 2 x + 2 \cos^2 x)$ y fórmulas similares para las más altas $\sin (kx)$ . Entonces $$\frac{\sin(3x)}{\sin x} = \cos 2 x + 2\cos^2x $$ donde la RHS es decreciente en $x$ y positivo siempre que $\cos 2x>0$ . Eso le da un intervalo en el que $\frac{\sin x}{\sin 3x}$ está aumentando.

Por supuesto, convertir esto en una prueba para el general $k$ es mucho más complicado que diferenciar, pero debería ser posible. (No se obtienen valores no enteros $k$ Sin embargo, no se trata de un problema de salud, sino de un problema de seguridad.)

Answer 2

$$\begin{aligned}\frac{\sin(x)}{\sin((k+1)x)}&=\frac{\sin(x)}{\sin(kx)\cos(x)+\cos(kx)\sin(x)}\\ &=\frac{1}{\frac{\sin(kx)}{\sin(x)}\cos(x)+\cos(kx)} \end{aligned}$$

Por lo tanto: $$\begin{aligned}\frac{\sin(x)}{\sin(kx)}\text{ increasing}&\iff\frac{\sin(kx)}{\sin(x)}\text{ decreasing}\\ &\Rightarrow \frac{\sin(kx)}{\sin(x)}\cos(x)\text{ decreasing}\\ &\iff\frac{\sin(kx)}{\sin(x)}\cos(x)+\cos(kx)\text{ decreasing}\\ &\iff\frac1{\frac{\sin(kx)}{\sin(x)}\cos(x)+\cos(kx)}\text{ increasing}\\ \\ &\iff\frac{\sin(x)}{\sin((k+1)x)}\text{ increasing}\\ \end{aligned}$$

Dejemos que $P(k)$ denotan la proposición de que $\frac{\sin(x)}{\sin(kx)}$ es creciente. Por lo tanto, hemos demostrado que $P(k)\rightarrow P(k+1)$ . Por lo tanto, podemos utilizar $P(1)$ (como se muestra en @Kusma's respuesta) para demostrar inductivamente que $\frac{\sin(x)}{\sin((2k+1)x)}$ está aumentando sobre $[0,\frac{\pi}{2(2k+1)}]$ para todos $k\in\mathbb{N}$ .