¿Por qué es que homotopy se describe mejor por equivalencias débiles que por homotopías?

Question

He estado leyendo acerca de (abstracto o no) homotopy teoría, y me parece haber entendido (corríjanme si estoy equivocado) que la debilidad de equivalencias describir homotopy mejor que homotopies, en el siguiente sentido :

Intuitivamente, si quería abstracto, lejos de la clásica homotopy teoría, mi primer supongo que no sería decir que debemos considerar categorías con distinguidos clases de morfismos; probablemente sería decir que debemos considerar $2$-categorías, o quizás categorías con algunos congruencia en los morfismos, o categorías con un objeto determinado que "clasifica homotopies" (interpretando el papel de $I$), o algo en esta dirección, es decir, me gustaría tratar de dar una descripción abstracta de homotopies, no débil equivalencias. Eso es probablemente conectado a mi falta de práctica en el clásico homotopy teoría, pero en menos de un principiante de la perspectiva, que es lo que yo haría.

Ahora, como esta idea es muy intuitiva y, probablemente, ingenuo, debe haber ocurrido a algunos matemáticos que se decidió por alguna razón que este no era el camino a seguir, y que en realidad, equivalencias, fibrations y cofibrations eran la cosa para el estudio. Mi pregunta es : ¿cuál es esa razón ? Cómo hace uno de homotopies a la debilidad de equivalencias ?

Podría dar una razón intuitiva/heurística por qué, o es una respuesta necesariamente técnica (en cuyo caso es probable que yo no siga todo de él, pero yo sería feliz de saber que es) ?

Otro muy relacionado con la pregunta es : ¿alguno de los enfoques que he mencionado interesante en ese sentido ($2$-categorías o categorías con una congruencia - son interesantes por otras razones, me pregunto si son interesantes para homotopy teoría, especialmente a $2$-categorías) ?

Answer 1

El enfoque en la débil equivalencias en lugar de homotopies es en gran medida consecuencia de Grothendieck el lema de trabajar en una buena categoría con malos (muy general) de los objetos, en lugar de trabajar en una mala categoría que tiene sólo los buenos objetos. Por lo general, no es una buena noción de homotopies entre los mapas que se comportan bien, pero sólo en la "buena objetos". Si trabajamos con una categoría que consta de sólo el bien de los objetos, entonces no necesitaríamos débil equivalencias, pero también sería muy triste porque nuestra categoría, probablemente no habría cosas como los límites y colimits, y en general sería difícil trabajar con ellos. En vez de ello podemos ampliar nuestra categoría para permitir que los objetos que son "malas" y que no se relacionan directamente con el homotopy teoría que realmente quieren estudiar. Para hacer homotopy la teoría con la mala objetos, se introduce una noción de la debilidad de la equivalencia que nos permite decir que todo el mal del objeto es en realidad equivalente a un buen objeto, tan lejos como nuestra homotopy teoría se refiere.

Un ejemplo básico de esto es simplicial y conjuntos complejos de Kan. Simplicial conjuntos de una forma muy, muy lindo categoría en la que es fácil trabajar con combinatoria o de manera algebraica. Sin embargo, por su propia cuenta, de que son horribles para los fines de homotopy teoría. Si el modelo de algunos buenos espacios topológicos como la geométrica de la realización de algunos simplicial conjuntos, entonces la mayoría de continuo mapas entre sus espacios no va a venir de mapas entre los simplicial conjuntos, incluso hasta homotopy. Podemos definir una noción de homotopy entre los mapas de simplicial conjuntos, pero es realmente poco se comportó (ni siquiera en la relación de equivalencia, a pesar de que usted podría tomar la equivalencia de la relación que genera).

Ahora, hay un tipo muy especial de conjunto simplicial que es realmente bueno para el modelado de homotopy teoría, a saber, Kan complejos. El singular conjunto de cualquier espacio topológico es un complejo de Kan. Homotopy clases de mapas entre los dos complejos de Kan son, naturalmente, en bijection con homotopy clases de mapas entre sus geométricas realizaciones. Así que tenemos esta gran teoría de Kan complejos que los modelos de la clásica homotopy la teoría de los espacios y tiene la ventaja de que nuestros objetos son más combinatoria y no tenemos que lidiar con las patologías de pointset topología.

Sin embargo, a pesar de todas las cosas buenas acerca de Kan complejos, que no forman un particular y agradable categoría. No son sólo la categoría de presheaves en un pequeño y simple de la categoría como simplicial conjuntos son, y no tienen ni siquiera el colimits. No podemos trabajar con ellos de forma combinatoria casi tan fácilmente como podemos generales simplicial conjuntos.

Así, nos gustaría que nos gusta utilizar la totalidad de la categoría de simplicial conjuntos y no sólo Kan complejos. Pero esto es incómodo, porque no tenemos una buena idea de homotopy para simplicial conjuntos, y ni siquiera tienen "suficiente" mapas entre la mayoría de los simplicial establece el modelo de lo que queremos modelar. La solución es que nosotros aún tenemos una buena idea de la debilidad de la equivalencia que funciona para todos los simplicial conjuntos, y después de invertir débil equivalencias podemos obtener la homotopy categoría que queremos. Cada conjunto simplicial es débil equivalente a un complejo de Kan, y cuando se trabaja con sólo Kan complejos, débil equivalencias dar el mismo homotopy teoría como homotopies entre mapas haría.

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Permítanme terminar con una de más de observación de la tierra. Un homotopy entre los mapas de $f,g:X\to Y$ se define como un mapa de $H:X\times I\to Y$ tal que $Hi_0=f$$Hi_1=g$. Aquí $i_0:X\to X\times I$ está definido por $i_0(x)=(x,0)$$i_1$$i_1(x)=(x,1)$.

Ahora vamos a $p:X\times I\to X$ el valor de la primera proyección. Observar que $pi_0=pi_1=1_X$. Por lo tanto, si nos formalmente contiguos a una inversa de la $p$, $i_0$ y $i_1$ va a ser igual (tanto igual a $p^{-1}$), y, en consecuencia, $Hi_0=f$ $Hi_1=g$ va a ser igual.

En otras palabras, la imposición de la homotopy relación de equivalencia en los mapas es esencialmente la misma cosa que teniendo en cuenta todos los mapas de proyección $p:X\times I\to X$ a ser "débil equivalencias". De esta manera, la clásica relación de equivalencia en morfismos enfoque homotopy en realidad es sólo un caso especial del uso de débil equivalencias. Pero la falta de equivalencias son más general y flexible, y puede ser utilizado en la configuración (como simplicial establece como se discutió anteriormente) cuando una relación de equivalencia en morfismos no hacer lo que usted desea.

Answer 2

Tengo dos intuiciones sobre esto que puede ser útil.

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El primero es considerar un lugar para hacer "abstracto homotopy teoría" como una caja negra — voy a llamar a una cosa un $\infty$-categoría.

Si tenemos tal cosa $\mathcal{X}$, con el fin de trabajar con él necesitamos una manera para realmente ser capaz de especificar los objetos y las flechas y cómo se componen. Nos gustaría organizar estos datos en una ordinaria categoría $C$, de modo que podamos trabajar con ella. Y vamos a necesitar algo misterioso (que voy a llamar a un "functor") que es un mapeo $C \to \mathcal{X}$ que interpreta los elementos de $C$ como elementos de $\mathcal{X}$.

Otra cosa que podemos imaginar es que podríamos tirar todos de la más alta homotopical información; por mirar sólo a las clases de equivalencia de morfismos, podemos esperar obtener un ordinario de la categoría, que es algo que trabajamos.

Así, exigimos no es una categoría $h \mathcal{X}$, lo que llamamos el "homotopy categoría" de $\mathcal{X}$, junto con la misteriosa asignación de $\mathcal{X} \to h \mathcal{X}$ (otro "functor") que lleva a cabo la transformación.

Lo bueno, ahora, es que el compuesto $C \to \mathcal{X} \to h \mathcal{X}$ es un simple functor entre ordinario categorías — todo en el diagrama de $C \to h \mathcal{X}$ entendemos y puede trabajar con, y puede utilizar esta información como un sustituto para el trabajo en el misterioso $\mathcal{X}$.

Por la razón que sea, la mejor de las situaciones son al $C \to h\mathcal{X}$ es en realidad una localización de ordinario categorías , es decir, hay una subcategoría $W \subseteq C$ (por ejemplo, la subcategoría de todo lo que se asigna a un isomorfismo en $h\mathcal{X}$) tal que $C \to h\mathcal{X}$ identifica a $h \mathcal{X}$$C[W^{-1}]$.

Por la razón que sea, los datos que necesitamos es tradicionalmente expresada a través de los par $(C,W)$ más que a través de la functor $C \to h \mathcal{X}$.

Resulta que en $\infty$-categorías que el $\mathcal{X}$ expresamos a través de los par $(C,W)$ resulta ser precisamente la $\infty$-categoría a la que se obtiene al tomar la localización de $\infty$-categorías , más que de ordinario categorías.

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La segunda intuición es que hay un modelo de la estructura de Gato, el Thomason la estructura del modelo, que se Quillen equivalente al modelo usual en estructuras en sSet y Superior; es decir, las categorías pueden servir como modelos para homotopy tipos como espacios topológicos o simplicial conjuntos.

Lo genial es que cuando tenemos en cuenta un par de $(C,W)$ (que se llama una categoría relativa) que consta de una categoría y sus subcategoría de la debilidad de equivalencias, se puede interpretar de la siguiente manera:

• $C$ se puede ver en la forma ordinaria como ordinaria de la categoría
• $W$ puede ser visto como un modelo para un tipo homotopy

así que esto le da una manera de mezclar las nociones de categoría y de homotopy tipo juntos.

El "invertible" la naturaleza de las flechas de $W$ proviene del hecho de homotopy tipos fundamentales groupoids, no fundamental categorías, por lo que la estructura del modelo con $W$ tiene inversos, es sólo que a $W$ misma carece de ellos. Que es por eso que los llamamos débil equivalencias en lugar de simplemente equivalencias.

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Dar instrucciones precisas a algunas de las cosas que he dicho anteriormente, en $(\infty,1)$ categoría $\mathrm{Cat}_{(\infty,1)}$ pequeña $(\infty,1)$-categorías, el $(\infty,1)$categoría $\mathcal{X}$ presentado por la categoría de pariente $(C,W)$ puede ser construido como un pushout

$$ \requieren{AMScd} \begin{CD} W @>>> C \\ @VVV @VVV \\ \mathrm{Grpd}_\infty(W) @>>> \mathcal{X} \end{CD} $$

donde $\mathrm{Grpd}_\infty(W)$ $\infty$- groupoid generado por $W$. Además, cumple con una característica universal: para cualquier otro $(\infty,1)$categoría $\mathcal{Y}$, $(\infty,1)$- functor categoría $\mathrm{Funct}(\mathcal{X}, \mathcal{Y})$ es equivalente al total ($\infty-$)subcategoría de $\mathrm{Funct}(C, \mathcal{Y})$ generado por los functors que enviar cada uno de los morfismos en $W$ a una equivalencia en $\mathcal{Y}$.

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Otra gran idea acerca de hacer el resumen homotopy teoría es que las categorías no tienen un conjunto de morfismos entre los objetos; usted debe tener un conjunto homotopy tipo de morfismos!

Así que queremos que un enriquecido categoría en un sentido.

Resulta que, mientras que puede ser que desee para debilitar la asociatividad por lo que sólo se mantiene hasta la equivalencia, en los modelos que utilizamos para homotopy tipos es seguro realmente requieren composición estrictamente asociativa.

Anteriormente, mencioné que, en el Thomason la estructura del modelo, las categorías pueden servir como modelos para homotopy tipos. Pero si nosotros (estrictamente) enriquecer Gato... que es la misma cosa como una estricta 2-categoría!

Así que puede hacer resumen homotopy de la teoría estricta de 2 categorías como sugieren... aunque tal vez esta es una especie de trampa, porque todavía tenemos débil equivalencias, es decir, todos la 2-morfismos.

Answer 3

He aquí un esfuerzo en una "respuesta". La estructura que mencionar--débil equivalencias, fibrations, cofibrations--son, por supuesto, la razón para el estudio de categorías de modelo. Es importante destacar que estas nociones, correctamente axiomatized como un modelo de la categoría, permitir el resumen de la construcción de homotopies y muchas de sus propiedades generales, sin importar el entorno. Se comienza por la definición de los cilindros, la ruta de los objetos, the whole nine yards, conseguir que todos los axiomáticamente. Entonces, en un sentido, la debilidad de equivalencias de dar a luz a la noción de homotopy. La (co)fibrations son entonces ahí para ayudar con los cálculos. Y la teoría de categorías de modelo ha sido muy exitoso, por lo que el impulso ha mantenido las cosas de esta manera.

No estoy seguro de lo fácil que sería ir a otro lado. Si usted resumen homotopies, tal vez usted puede decir lo que una débil equivalencia debe ser (aunque no sería un problema para los objetos que no están co/fibrant). Pero entonces, ¿cómo se consigue (co)fibrations para manejar homotopy (co)límites y similares?