Teorema de representación para las álgebras completas de Heyting atómico

Question

Es bien sabido que dentro de la lógica clásica que uno puede caracterizar completa atómica álgebras booleanas como powersets.

Es posible proporcionar cualquier caracterización/representación teorema para completar atómica álgebras de heyting?

Edit.

Después de algunos muy constructivo consideraciones en los comentarios que he descubierto que estoy interesado en una inusual noción de átomo. Dado que la pregunta resultó ser muy interesante, también para la gente de fuera de mi matemáticos de la zona de confort, voy a escribir a continuación dos definiciones diferentes del átomo y me gustaría tener una respuesta a mi pregunta para ambas definiciones.

Átomo (2) es la noción usual de átomo, el átomo (1) debe ser llamado infinitary unirse-irreductible o pequeño elemento.

Una discusión que relaciona los dos conceptos se puede encontrar aquí como la propuesta 5.1. En álgebras booleanas estas dos definiciones coinciden.

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Algunas definiciones.

Def. En un poset $\mathbb{P}$ un átomo (1) es un elemento $p$ tal que $$\text{if } p \leq \bigvee_{i \in I} a_i \text{ then } p \leq a_j \text{ for some } j \in I. $$

Def. En un poset $\mathbb{P}$ un átomo (2) es un mínimo elemento distinto de cero.

Def. Un subconjunto $A$ de un total de poset $\mathbb{P}$ es (combinación)denso si para cada elemento $p$ hay una familia de $(a_i)$ en que $$p = \bigvee a_i. $$

Def. Una completa poset es atómico si el conjunto de sus átomos es densa.

Answer 1

Definición de átomo (1) se conoce comúnmente en la literatura como completamente la combinación de elementos principales, y en el caso de completamente distributiva completa de celosías de coincidir con el completamente la combinación de elementos irreductibles (como amrsa señala en los comentarios).

La completa distributiva celosías cuya completamente la combinación de elementos irreductibles unirse a generar la red (es decir, el conjunto de unirse completamente-irreducibles es densa) se refieren a Gehrke, Nagahashi y Venema en "Un Sahlqvist teorema para distributiva lógica modal" como perfecto redes (esta es la definición 2.14, si no puede acceder al papel hágamelo saber y yo la podemos enviar a usted). Hay que indicar también una caracterización que está muy en el estilo de la powerset caracterización para álgebras Booleanas. Es decir, perfecto celosías se corresponden con el conjunto de downsets de un orden parcial.

Definición de átomo (2) está más cerca del significado de un átomo. Si estos átomos de unirse a generar el álgebra de Heyting entonces no es difícil ver que la distribución de la celosía es de hecho un álgebra Booleana. De hecho, vamos a $\mathbb{A}$ ser completamente distributiva de celosía que se unan a generado por sus átomos. Deje $X$ el conjunto de los átomos. Deje $a\in\mathbb{A}$ y deje $Y\subseteq X$ tal que $\bigvee Y=a$. Para cada $b\in X\setminus Y$ tenemos que $a\land b=\bot$. Por lo tanto $$a\to\bot=\bigvee\{b\in\mathbb{A}\mid a\land b\leq \bot\}\geq\bigvee(X\setminus Y).$$ Por lo tanto $a\lor (a\to\bot)=\bigvee X=\top$, es decir, la ley de medio excluido sostiene.