Seis clases de objetos | productos | co productos en busca de una categoría

Question

^{(Disculpas a Pirandello por el título.)}

Tengo un par de completamente análoga situaciones, cada una con sus candidatos para los objetos, productos y co-productos de una posible categoría; falta todavía son los morfismos¹ (incluyendo, por supuesto, las identidades) que llevaría a la correspondiente bona fide categorías.

Me referiré a estos hipotéticos categorías como $\mathbf{C}_1$$\mathbf{C}_2$.

1. $\mathrm{ob}(\mathbf{C}_1) = \mathbb{N_0}$, el conjunto de enteros no negativos, y el producto y subproducto son los habituales de la multiplicación y la suma de $\mathbb{N}_0$.

2. $\mathrm{ob}(\mathbf{C}_2) = \mathrm{ob}(\mathbf{Set})$, y el producto y subproducto son el conjunto habitual de la teoría de la intersección y (no necesariamente disjuntos) de la unión.

Es posible definir morfismos para cualquiera de estos casos, que la haría una categoría? También, si hay un nombre estándar (como una categoría) para cualquiera de estos casos, por favor hágamelo saber.

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En el primer caso, me parece sugerente que $\#$ (cardinalidad²) mapas de $\mathrm{ob}(\mathbf{FinSet}) \to \mathbb{N}_0$ de tal manera que $$\#(A\;\Pi\;B) = \#A \times \#B,$$ and $$\#(A \amalg B) = \#A + \#B.$$ Therefore, if there is indeed a category $\mathbf{C}_1$, it looks like $\$ would be a good candidate for a functor $%\mathbf{FinSet}\\mathbf{C}_1$. In fact, a suitable extension of $\$ to the morphisms of $%\mathbf{FinSet}$ would provide a pretty good idea of what the morphisms of $\mathbf{C}_1$ tendría que parecerse.

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Addendum (en respuesta a Qiaochu de Yuanes de respuesta). Por ejemplo, puedo ver cómo el objeto se llama³ $\mathbf{18} = \{0,\dots, 17\} \in \mathrm{ob}(\mathbf{C}_1)$ podría servir como el "dominio" de dos surjections (es decir, "el candidato de las proyecciones") $\mathbf{18} \rightarrowtail \mathbf{3}$ $\mathbf{18} \rightarrowtail \mathbf{6}$ (donde $\mathbf{3} = \{0, \dots, 2\}, \mathbf{6} = \{0, \dots, 5\} \in \mathrm{ob}(\mathbf{C}_1)$), pero no es claro para mí cómo una especifica estos surjections en detalle, de modo que constituyen una categoría de producto $\mathbf{3} \; \Pi \; \mathbf{6}$.

(Por CIERTO, creo que parte de mi dificultad es que para mí es difícil saber cuando la frase "hasta el isomorfismo" lo que se deja fuera, o qué es exactamente esta tácita isomorfismo).

Anexo 2 OK, voy a ver ahora: una forma de definir a $\mathbf{18} \rightarrowtail \mathbf{3}$$\mathbf{18} \rightarrowtail \mathbf{6}$, respectivamente, podrían ser$n \mapsto \lfloor n/6\rfloor$$n \mapsto n\;\mathrm{mod}\;6$. Yo no había esperado una relación asimétrica de definición, pero supongo que no hay nada de malo con ello.

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^{1me doy cuenta de que, cuando se trata de categorías, teniendo los objetos, productos y co-productos, pero no los morfismos, es un poco como tener una mesa con platos, cubiertos, servilletas, etc., pero no comida: todo puede ser sugerente suficiente para saciar su apetito, pero aún así es un muy largo camino de la cosa real.}

^{2Originalmente había utilizado la notación $\mathrm{card}(\dots)$ de cardinalidad, en lugar de $\#$, pero se encontró que la fuente era demasiado similar a la de la fuente normal, y se pierde dentro del texto que la rodea.}

^{3Originalmente yo había definido $\mathbf{18}$$\{1, \dots, 18\}$, pero la definición actual funciona mejor con las proyecciones givein en el Anexo 2.}

Answer 1

1. Tome la categoría de finito de conjuntos y funciones. Esta categoría se denomina comúnmente $\text{FinSet}$. (Estrictamente hablando, para satisfacer su petición debo tomar un esqueleto de esta categoría.)

2. Tome la categoría de conjuntos y las inclusiones (en realidad, un gran poset). No sé si esta categoría tiene un nombre; podría decirse que por lo general no es la categoría en la que desea trabajar, y tú, en cambio, quieren trabajar en la categoría de conjuntos y funciones, que se llama comúnmente $\text{Set}$. Como que a mí respecta, no hay tal cosa como la intersección o unión de conjuntos.