Cómo calcular la integral indefinida de $\frac{1}{x^{2/3}(1+x^{2/3})}$ ?

Question

$$\int \frac{dx}{x^{2/3}(1+x^{2/3})}.$$

Lo he sustituido,

$$t=\frac{1}{x^{1/3}}$$

$$\frac{dt}{dx} = -\frac{1}{3x^{4/3}}$$

$$\frac{dt}{dx} = -\frac{t^4}{3}$$

Reescribiendo la pregunta,

$$\int \frac{dx}{x^{2/3}+x^{4/3}}$$

$$-\frac{1}{3} \int \frac{dt}{t^4\Bigl(\frac{1}{t^2}+\frac{1}{t^4}\Bigr)}$$

Lo tenemos,

$$-\frac{1}{3} \int \frac{dt}{t^2 + 1}$$

$$-\frac{1}{3}\tan^{-1}t+C$$

$$-\frac{1}{3}\tan^{-1}\Biggl(\frac{1}{x^{1/3}}\Biggr)+C$$

Pero la respuesta dada es $$3\tan^{-1}x^{1/3}+C$$

¿En qué me equivoco?

Se agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Dos observaciones lo resuelven. La primera es que no has invertido la derivada correctamente, por lo que tu $1/3$ El coeficiente debe ser $3$ porque $dx=-3t^{-4}dt$ . En segundo lugar, $\arctan 1/y=\pi/2-\arctan y$ implica que hay más de una forma de escribir la respuesta, y que tu método consigue algo válido. Creo que se esperaba que sustituyera $t=x^{1/3}$ en su lugar; tu opción sí funciona, pero es conceptualmente más compleja.

Answer 2

$t=\sqrt[3]{x},\qquad dt=\frac{1}{x^{2/3}}dx$ $$\int \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}+x^{\frac{4}{3}}}dx=3\int \frac{1}{t^2+1}dt$$

Answer 3

Si $$t=x^{-2/3}$$ entonces $$dt=\frac{-2}{3}x^{-5/3}dx$$