Si $|\lbrace g \in G: \pi (g)=g^{-1} \rbrace|>\frac{3|G|}{4}$, entonces el $G$ es un Grupo abeliano.

Question

Asumir que $\pi$ es un automorphism de un finito grupo $G$. Que $S$ denotan el conjunto $\lbrace g \in G: \pi (g)=g^{-1} \rbrace$. Muestran que si $|S|>\frac{3|G|}{4}$, entonces el $G$ es un Grupo abeliano.

¿Alguien tiene alguna idea sobre cómo solucionar esto? No tengo idea como empezar.

Answer 1

Arreglar cualquier $s\in S$. Definir tres grupos: $T=\{\,t\mid t,st\in S\,\}$, $T_1=\{\,t\mid t\not\in S\,\}$ y $T_2=\{\,t\mid st\not\in S\,\}$. Entonces, claramente, $T=G\setminus(T_1\cup T_2)$. Por lo tanto $$|T|=|G|-|T_1|-|T_2|+|T_1\cap T_2|>|G|-\frac{|G|}{4}-\frac{|G|}{4}=\frac{|G|}2$ $ por otra parte, si $t\in T$ y $$st=((st)^{-1})^{-1}=\pi(t^{-1}s^{-1})=\pi(t^{-1})\pi(s^{-1})=ts$$ ahí $T\subseteq C_G(s)$. Por lo tanto, $|C_G(s)|>|G|/2$ y así $C_G(s)=G$ para cualquier $s\in S$, lo que implica que el $S\subseteq Z(G)$. Así $|Z(G)|>\frac34|G|>\frac12|G|$ así $Z(G)=G$

Answer 2

Consejo. Esta respuesta es exactamente la prueba $\pi=\text{id}_{\text{Aut}(G)}$. ¿Se puede cambiar la redacción para ampliar a un automorphism arbitraria?