Si $D$ es efectivo en el divisor en una curva de $Y$, entonces puedo representado $D$ cero dimensiones cuasi-compacto subscheme: para un punto de cierre de la multiplicidad $n \geq 0$, tenemos un cerrado de inmersión de $Spec k[x] / (x^n)$ a $Y$.
Supongamos que $f : X \to Y$ es una de morfismos entre curvas suaves. Es cierto que el pullback divisor $f^*(D)$ está de acuerdo con la preimagen esquema de $f^{-1}(D)$?
Es claramente suficiente para considerar el caso de un punto de $Q \in Y$ de la multiplicidad $n$. A continuación, para cada preimagen punto de $P$, el pullback divisor da ese punto multiplicidad $n*e_p$ donde $e_p$ es el grado de la desaparición de la retirada de un local de la ecuación de $\phi_Q$$Q$. Para calcular ese orden en $P$, nos encontramos con un local de la ecuación de $\phi_P$ $P$ $X$ y, a continuación, aplicar la valoración en $O_{X,P}$ $(\phi_P) \subseteq O_{X,P}$ a la función $\phi_Q \circ f$.
Por otro lado, la longitud de la preimagen esquema está dado por $\dim_k (k \otimes_{k[y]} k[x])$ donde $k[x]$ $k[y]$ módulo a través del mapa de $f^*$, y donde $k$ $k[y]$ módulo a través del mapa de $y \mapsto 0$.
No estoy seguro de cómo se relacionan estas nociones ahora. Debe haber alguna subtlty porque, por supuesto (?) la preimagen régimen no puede tener duración negativa.
Gracias por su ayuda!
