Teorema de límite central. Cómo aplicar a la tarea.

Question

La investigación mostró que las probabilidades de 3, 4, 5, 6 y 7 coches rotos en un día es de 0.3, 0.4, 0.2, 0.08, 0.02, respectivamente. Si 221 coche se rompió en 50 días, ¿es mostrar que los coches más descanso de lo esperado en la investigación.

Sé que puedo usar CLT aquí. He calculado el valor esperado - su 4.12 para un coche de romper. La varianza es 0.986. Wekepedia sugiere que sqrt(nnumber)(promedio Esperado) tiende a estar cerca de distribución normal, como más variables aleatorias se dan.

Pero, ¿cómo me puedo atar la CLT y la prueba. Cómo puede esta tarea se resuelva?

Answer 1

Este es un buen problema, y me gustaría compartir su solución exacta (que no uso CLT), utilizando la ayuda de Mathematica 9:

Empezar por definir la distribución, según lo determinado por la investigación:

probs = {0.3, 0.4, 0.2, 0.08, 0.02};
cars = Range[3, 7];

di = EmpiricalDistribution[WeightedData[cars, probs]];

A continuación, encontrará los pesos de la distribución de $Y=X_1+\cdots+X_{50}$ el uso de la convolución:

di50 = With[{m = 50}, 
   EmpiricalDistribution[
    Nest[ListConvolve[probs, ArrayPad[#, Length[probs] {1, 1} - 1]] &,
       probs, m - 1] -> Range[Min[cars] m, Max[cars] m]]];

La trama de la función de masa de probabilidad $p_Y(y)$ similar a la distribución normal, como CLT nos dice:

Ahora nos podemos preguntar por la probabilidad de que $Y$ se desvía de su media por la cantidad mayor que la medición de corriente de 221:

In[76]:= NProbability[Abs[Y - Mean[di50]] >= Abs[221 - Mean[di50]], 
 Y \[Distributed] di50]

Out[76]= 0.038435

Y comparar esto por la CLT aproximación

In[77]:= NProbability[Abs[z - 50 Mean[di]] >= Abs[221 - 50 Mean[di]], 
 z \[Distributed] 
  NormalDistribution[50 Mean[di], Sqrt[50 Variance[di]]]]

Out[77]= 0.0326175

Answer 2

Imaginar la grabación del número de coches problemas para $50$ días. Vamos variable aleatoria $X_1$ ser el número en el primer día, $X_2$ el número en la segunda, y así sucesivamente hasta el $X_{50}$. Deje $Y=X_1+\cdots+X_{50}$. A continuación, $Y$ es el número total de coches a los problemas en el $50$ día del período.

Suponemos que el $X_i$ son independientes e idénticamente distribuidas, o al menos no demasiado lejos de eso. Estos son inverosímiles supuestos, pero vamos a ir. A continuación, $Y$ tiene distribución aproximadamente normal, y $E(Y)=50E(X_1)$, $\operatorname{Var}(Y)=50\operatorname{Var}(X_1)$.

El resultado en $E(Y)$ proviene del hecho de que por la linealidad de la expectativa, tenemos $E(Y)=E(X_1+\cdots+X_{50})=E(X_1)+\cdots+E(X_{50})$

El resultado en $\operatorname{Var}(Y)$ proviene del hecho de que la varianza de una suma de independiente de variables aleatorias es la suma de las varianzas.

Si sus cálculos numéricos son correctos (tengo no verificado ellos), a continuación, $Y$ es decir $206$, y la varianza $\approx 49.3$, por lo que la desviación estándar $\approx 7$.

El número de $221$$15$$206$, así que un poco más de $2$ unidades de desviación estándar. Usted puede buscar la probabilidad de que $Z\ge \frac{15}{7}$ donde $Z$ es normal estándar y, a continuación, llegar a una conclusión.

Comentario: El hecho de que la distribución de $Y$ es más o menos normal tiende a justificarse invocando el Teorema del Límite Central. Esto no es realmente correcto. La CT es un límite teorema. Si $Y_n=X_1+\cdots+X_n$, nos da información sobre el comportamiento de los $Y_n$$n\to\infty$. Para cualquier situación concreta, y, decididamente, no muy grande $n=50$, la limitación de comportamiento no es directamente relevante: nosotros sólo nos preocupamos de thi distribución en particular, y con $n=50$. Saber cuando la aproximación normal es probable que sea "suficientemente bueno" es en gran medida una cuestión de experiencia, y, a veces, cruzando los dedos de una mano.