A continuación ofrecemos más detalles de la construcción mencionada en la respuesta de Roy Simpson. La pregunta (v1) tiene realmente dos partes:
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¿Cómo son los observables hermitianos $A:H \to H$ y medidas proyectivas $P_m:H \to H$ ¿relacionado? Esta cuestión se discute en muchos lugares, por ejemplo, en este respuesta.
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Cómo son las medidas proyectivas $P_m$ y medidas generales $M_m$ ¿relacionado? Este será el tema principal de esta respuesta.
Dejemos que $H$ sea el espacio de Hilbert del sistema. (Ignoraremos las sutilezas con operadores no limitados , dominios, extensiones autoadjuntas etc., en esta respuesta).
I) Operadores de medición proyectiva $P_m:H \to H$ , $m\in I$ , satisfacen por definición
$$P_n P_m ~=~ \delta_{nm} P_m, \qquad P^{\dagger}_m~= P_m , \qquad \sum_{m\in I} P_m ~=~{\bf 1}_{H}. \qquad\qquad(1) $$
Aquí $I$ es un conjunto de índices.
II) Operadores de medición general $M_m:H \to H$ , $m\in I$ , satisfacen por definición
$$ \sum_{m\in I} M^{\dagger}_m M_m ~=~{\bf 1}_{H}.\qquad\qquad(2) $$
Considere la posibilidad de un $m\in I$ . La probabilidad $p(m)$ para medir los resultados $m$ para el operador de densidad $\rho:H\to H$ es
$$ p(m)~=~ {\rm tr}_H (M^{\dagger}_m M_m\rho).\qquad\qquad(3) $$
El colapso $\rho\longrightarrow \rho^{\prime}$ del operador de densidad, debido a la medida general, es
$$ \rho^{\prime}~=~ \frac{M_m\rho M^{\dagger}_m}{p(m)}.\qquad\qquad(4) $$ Esto es esencialmente el Postulado 3 de la Ref.1.
III) Por un lado:
En el mismo espacio de Hilbert $H$ Los operadores de medida proyectivos (1) son un caso muy especial de los operadores de medida generales (2).
No es difícil construir ejemplos de operadores de medida generales que no sean operadores de medida proyectivos (si el espacio de Hilbert $H$ es fijo, véase la sección IV más adelante). Obsérvese, en particular, que si repetimos la medición general $M_m$ con el mismo $m$ el operador de densidad doblemente colapsado
$$ \rho^{\prime\prime}~=~ \frac{M_m\rho^{\prime} M^{\dagger}_m}{{\rm tr}_H (M^{\dagger}_m M_m\rho^{\prime})}\qquad\qquad(5) $$
puede ser en general diferente de $\rho^{\prime}$ . Por otro lado, para los operadores de medida proyectiva $\rho^{\prime\prime}=\rho^{\prime}$ siempre, principalmente por idempotencia de $P_m$ .
IV) Por otro lado:
Hay una manera de realizar operadores de medición generales $M_m:H \to H$ , $m\in I$ que viven en un espacio de Hilbert $H$ como operadores proyectivos de medida $P_m:L \to L$ , $m\in I$ en un espacio de Hilbert mayor $L:=H\otimes K$ introduciendo el llamado espacio de Hilbert ancilla $K~\cong~\mathbb{C}^{I}$ con una base ortonormal $|m\rangle\in K$ , $m\in I$ etiquetados por el mismo conjunto de índices $I$ .
Esto se explica en la sección 2.2.8 de la Ref. 1. La construcción se basa, en particular, en el postulado 4 para los productos tensoriales de la Ref. 1. Una prueba esquemática es la siguiente.
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Elegir un estado fijo normalizado $|a_0\rangle\in K$ . Llama al operador de densidad correspondiente $\rho_K:=|a_0\rangle\langle a_0|: K \to K$ .
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Introducir una copia isomórfica $\tilde{H}$ de $H$ dentro de $L$ como $$H~\stackrel{\cong}\longrightarrow~ \tilde{H}~:=~H\otimes |a_0\rangle ~\subseteq ~H\otimes K~=:~L.\qquad\qquad(6) $$
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Definir un isometría $U:\tilde{H} \to L$ como $$U~:=~ \sum_{m\in I} M_m \otimes |m\rangle \langle a_0 |.\qquad\qquad(7) $$ Es una isometría principalmente por la ec. (2) y porque $|m\rangle\in K$ , $m\in I$ es una base ortonormal.
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Ampliar la isometría $U:\tilde{H} \to L$ de la ec. $(7)$ a un unitario operador $\tilde{U}:L \to L$ .
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Definir los operadores de medida proyectiva $Q_m:L\to L$ , $m\in I$ , como $$Q_m~:=~ {\bf 1}_H\otimes|m\rangle \langle m|. \qquad\qquad(8) $$
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Definir operadores de medida proyectiva unitariamente equivalentes $P_m:L\to L$ , $m\in I$ , como $$P_m~:=~\tilde{U}^{\dagger}Q_m\tilde{U} . \qquad\qquad(9) $$
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Recordemos el operador de densidad fija $\rho_K:=|a_0\rangle\langle a_0|: K\to K$ desde arriba. Consideremos un operador de densidad arbitrario $\rho_H: H\to H$ . Definir el operador de densidad del producto $\rho_L:=\rho_H\otimes\rho_K: L\to L$ .
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Considerar para el fijo $m\in I$ el operador de medición proyectiva $P_m:L\to L$ definido en la ec. $(9)$ . Ahora aplique el postulado 3 para el operador de medida proyectiva $P_m:L\to L$ .
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La probabilidad es $$p(m)~=~ {\rm tr}_L (P^{\dagger}_m P_m\rho_L)~=~\ldots ~=~{\rm tr}_H (M^{\dagger}_m M_m\rho_H).\qquad\qquad(10) $$
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El colapso $\rho_L\longrightarrow \rho^{\prime}_L$ del operador de densidad, debido a la medida proyectiva, es $$ \rho^{\prime}_L~=~\frac{P_m\rho_L P^{\dagger}_m}{p(m)} ~=~\ldots~=~\rho^{\prime}_H~\otimes~\rho^{\prime}_K,\qquad\qquad(11) $$ donde $$\rho^{\prime}_H~:=~\frac{M_m\rho_H M^{\dagger}_m}{p(m)}~=~{\rm tr}_K\rho^{\prime}_L,\qquad\qquad(12) $$ y $$\rho^{\prime}_K~:=~|m\rangle \langle m|~=~{\rm tr}_H\rho^{\prime}_L.\qquad\qquad(13) $$ Las ecuaciones (10) y (12) reproducen el postulado 3 para el operador de medida general inicialmente dado $M_m:H\to H$ . (La última igualdad de las ecs. (12) y (13) utiliza rastro parcial .)
Referencias:
- M.A. Nielsen e I.L. Chuang, Computación cuántica e información cuántica, 2011.
